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An inequality for the arithmetical function \(g(x)\). (English) JFM 65.1153.01
Es bedeute \(V(b_1, \ldots \!, b_k)\) das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen \(b_1, \ldots \!, b_k\). Ist \(x\) eine natürliche Zahl, so betrachte man alle Zerlegungen \[ x=a_1+a_2+\cdots+a_n \;\; (a_j \geqq 0 \text{ ganz}); \tag{1} \] das Maximum von \(V(a_1, \ldots \!, a_n)\) für alle solchen Zerlegungen (1) heiße \(f(x)\). Es sei noch \(y\) die größte natürliche Zahl mit \(\sum\limits_{p \leqq y} p \leqq x\), und man setze \(I(y)=\sum\limits_{p \leqq y} \log \,p\). Dann ist \[ I(y) \leqq \log \,f(x) \leqq I(y)+O(x^{\frac{1}{4}} \, \log^{\frac{1}{4}} \,x); \] mit Hilfe des Primzahlsatzes bekommt man daraus \[ \log \,f(x)=(x \,\log \,x)^{\frac{1}{2}}+\tfrac{1}{2} \frac{x^{\frac{1}{2}} \,\log \,\log \,x}{\log^{\frac{1}{2}} \,x}+ O \left( \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\log^{\frac{1}{2}} \,x} \right) . \] Vgl. zu dieser Frage E. Landau, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen I (1909; F. d. M. 40, 232), 222-229. – Im Beweis wird folgender Hilfssatz benutzt: Es sei \(p_r\) die \(r\)-te Primzahl; es seien \(q_1, \ldots \!,q_l\) untereinander verschiedene Primzahlen. Ist \(q_1+q_2+\cdots+q_l \leqq x\), \(p_2+p_3+\cdots+p_{k-1} < x \leqq p_2+p_3+\cdots+p_k\), so ist \(p_1 p_2 \cdots p_k >q_1 q_2 \cdots q_l\). – Auf S. 316, Z. 2 v. u. lies \(1-\alpha\) statt \(\frac{1}{4}-\alpha\); auf S. 318, Z. 9-8 v. u. fehlt der Index 1 bei \(y\) und bei dem zweiten \(P\).

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