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Sur l’interpolation. (French) JFM 65.1196.01
Die Arbeit behandelt zwei verschiedene Fragen, die sich auf die Interpolation stetiger Funktionen von einer Veränderlichen beziehen:
1) Einem bekannten Ergebnis von S. Bernstein (Commun. Soc. math. Kharkow (2) 13 (1912), 1-2; F. d. M. 43, 301 (JFM 43.0301.*)) entnimmt man mühelos die folgende Tatsache: Für jedes ganze positive \(n\) sei eine Serie von \(n +1\) Stellen \(\boldsymbol \{ \alpha _\nu ^n \boldsymbol \}\) (\(\nu = 0, 1,\ldots,n\)) mit \(0\leqq \alpha _0^n< \alpha _1^n<\cdots <\alpha _n^n\leqq 1\) vorgegeben, die für jedes \(n = 1, 2,\ldots \) Ungleichungen der Form \(\alpha _{\nu +1}^n- \alpha _\nu ^n<\alpha _n\); (\(\nu =-1, 0,1,\ldots, n\); \(\alpha _{-1}^n=0\), \(\alpha _{n+1}^n=1\)) genügen, wobei für die Schranken \(\alpha _n\to 0\) für \(n\to\infty \) gilt. Dann lassen sich den Stellen \(\boldsymbol \{ \alpha _\nu ^n \boldsymbol \}\) für jedes \(n\) Polynome \(\boldsymbol \{ A_\nu ^n (x)\boldsymbol \}\) (\(\nu =0,1,2,\ldots,n\)) höchstens \(n\)-ten Grades zuordnen derart, daß für jede in \(\langle 0,1\rangle \) stetige Funktion \(f (x)\) die Polynomfolge \[ A_n^f (x)=\sum _{\nu =0}^n f\,(\alpha _\nu ^n)\,A_\nu ^n (x)\qquad (n=1,2,\ldots ) \] gleichmäßig gegen \(f (x)\) konvergiert.
Die Polynome \(A_\nu ^n(x)\) sind dabei keineswegs eindeutig bestimmt. Verf. zeigt nun, daß es für gewisse Klassen stetiger Funktionen \(f(x)\) möglich ist, unter den zulässigen Polynomen \(A_\nu ^n(x)\) eine Bestimmung so zu treffen, daß die entsprechenden Polynome \(A_n^f(x)\) die Funktionen \(f (x)\) der Klasse im ganzen im Sinne einer gewissen Extremalbedingung möglichst gut approximieren. Dazu wird eine Klasse \(C\) in \(\langle 0,1\rangle \) stetiger Funktionen \(f(x)\) zugrunde gelegt, in der ein Funktional \(F(f)\) erklärt ist, das den drei Bedingungen genügt: (a) \(F(f)\geqq 0\); (b) \(F(f)=0\) genau dann, wenn \(f\) konstant ist; (c) mit \(f\) gehört für jede Konstante \(c\) auch \(cf\) zur Klasse, und es gilt \(F(cf)=|c|F(f)\). Setzt man dann für irgendeine zulässige Polynomfolge \(\boldsymbol \{ A_\nu ^n (x)\boldsymbol \} \) bei beliebigem \(f(x)\) aus \(C\) \[ \varrho _n^A (f)= \operatornamewithlimits{\text{Max}}_{0\leqq x\leqq 1}\, \Bigl|f(x)- \sum _{\nu =0}^n f\,(\alpha _\nu ^n)\,A_\nu ^n (x)\Bigr|, \] so stellt die Größe \[ \varrho _n^A (C)= \operatornamewithlimits{\text{fin sup}}_{f\in C}\, \frac {\varrho _n^A (f)}{F(f)} \] bezüglich der ganzen Klasse \(C\) ein Maß für die Güte der mit Hilfe der \(A_\nu ^n(x)\) gebildeten Interpolationspolynome \(A_n^f(x)\) dar. Das Resultat des Verf. besagt:
Ist \(\varrho _n^\alpha (C)\) die untere Grenze der \(\varrho _n^A(C)\) für alle zulässigen Polynomfolgen \(\boldsymbol \{ A_\nu ^n (x)\boldsymbol \} \), so gibt es mindestens eine Polynomfolge \(\boldsymbol \{ E_\nu ^n (x)\boldsymbol \} \) für die \(\varrho _n^E(C) = \varrho _n^\alpha (C)\) ausfällt, falls \(n +1\) Funktionen \(\boldsymbol \{ f_i (x)\boldsymbol \} \) in der Klasse \(C\) enthalten sind, für die die Determinante \(\bigl|f_i\bigl(\alpha _\nu ^n\bigr)\bigr|_{i, \nu =0}^n\neq 0\) ausfällt.
2) Es sei \(E\) eine abgeschlossene unendliche Punktmenge aus dem Intervall \(\langle 0,1\rangle \). Zu \(E\) existiert dann eine Funktion \(\varphi _E(n)\) derart, daß jedes Polynom höchstens \(n\)-ter Ordnung in \(\langle 0,1\rangle \) nur Werte vom Betrage \(\leqq \varphi _E(n)\) annimmt, wenn es auf \(E\) nur Werte vom Betrage \(\leqq 1\) annimmt. Anknüpfend an diese Bemerkung gelangt Verf. zur Definition neuer Klassen \(E_{\{ n\} }\) von quasi-analytischen Funktionen, die zwischen den Denjoyschen und Bernsteinschen Klassen liegen:
Zugrunde gelegt sei eine abgeschlossene unendliche Punktmenge \(E\) aus dem Intervall \(\langle 0,1\rangle \) und eine unendliche Folge \(\{ n\} \) ganzer Zahlen \(n_1<n_2<\cdots \) Dann heißt eine in \(\langle a,b\rangle \) stetige Funktion \(f (x)\) daselbst zur Klasse \(E_{\{ n\} }\) gehörig, wenn zu jeder Zahl \(n\) der Folge \(\{ n\} \) ein Polynom \(P_n(x)\) existiert, für das \[ |f(x)-P_n(x)|\leqq \frac {M_n}{\varphi _E(n)}\quad \text{mit}\quad \lim _{n\to\infty }\,M_n =0 \] gilt. Eine Funktion \(f(x)\) der Klasse ist vollständig bestimmt durch die Werte, welche sie auf einer zu \(E\) ähnlichen Punktmenge, die im übrigen beliebig klein sein darf, annimmt. Die Existenz von Klassen \(E_{\{ n\} }\) wird durch die Konstruktion von Beispielen dargetan.

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