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Sur les suites de fonctions non bornées dans leur ensemble. (French) JFM 65.1240.01
Verf. erweitert das bekannte Normalitätskriterium gleichmäßig beschränkter Funktionsscharen auf nicht beschränkte Scharen. I. \(M\) sei der Maximalbetrag der Funktion \(f(z)\) im Bereich \(D\), und keine der Grenzfunktionen der Schar \(\left\{\dfrac{f(z)}M\right\}\) sei identisch null. Die Schar \(\{f(z)\}\) ist in \(D\) dann und nur dann normal, wenn jede ihrer Folgen mit unbeschränkt wachsenden Maximalbeträgen nur endlich viele Nullstellen hat.
II. \(M_p(r)\) bezeichne den Hardyschen Mittelwert \(\left[\dfrac1{2\pi}\int\limits_0^{2\pi} |f(re^{i\theta})|^pd\theta\right]^{\tfrac1p}\), \(R(f)\) den maximalen Realteil, \(\mathfrak A\) die Bildfläche von \(D\) auf der Riemannschen Fläche von \(f(z)\), \(\mathfrak S\) ihre Projektion auf die \(z\)-Ebene und \(M^{(p)}\) den Maximalbetrag von \(f^{(p)}\) in \(D\). Verf. erhält analoge Resultate zu I, indem er dort \(M\) durch die Größen \(M_p(1)\), \(R(f)\), \(\mathfrak A\), \(\mathfrak S\), \(M^{(p)}\) ersetzt.
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