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Approximation analytischer Funktionen in vorgegebenen Bereichen des Raumes von \(n\) komplexen Veränderlichen. (German) JFM 65.1243.02
Das durch die Nichtallgemeingültigkeit des Rungeschen Satzes in der Funktionentheorie mehrerer Veränderlichen aufgeworfene Problem wird hier in der denkbar allgemeinsten Formulierung behandelt: Wann lassen sich die in einem Bereich \(\mathfrak B\) regulären Funktionen darstellen durch gleichmäßig konvergente Folgen von Funktionen, die in einem vorgegebenen, \(\mathfrak B\) umfassenden Bereich \(\mathfrak B^*\) noch regulär und eindeutig sind? Durch den Begriff der “regulären Ausdehnbarkeit” von \(\mathfrak B\) auf \(\mathfrak B^*\) wird ein notwendiges und hinreichendes Kriterium dafür angegeben und somit auf diesem Gebiet, auf dem bisher nur gewisse Einzelergebnisse vorlagen, ein allgemeiner Abschluß gewonnen. Es wird weder Schlichtheit noch Beschränktheit der Bereiche vorausgesetzt. -Interessant ist das Beispiel eines schlichten, beschränkten Bereiches mit zusammenhängender Randmannigfaltigkeit, der sich überhaupt nicht ausdehnen läßt, der also als “nichtrungesch” in der schlimmsten Form angesehen werden muß.
Bei den Beweisen wird wesentlich benutzt ein bekannter Hilfssatz von K. Oka (J. Sci. Hiroshima Univ. A 6 (1936), 245-255; 7 (1937), 115-130; F. d. M. \(62_{\text I}\), 399; \(63_{\text I}\), 307), dessen Beweis hier auf nichtschlichte Bereiche verallgemeinert wird.
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