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Les équations linéaires aux dérivées partielles et la méthode de la variation des constantes. (French) JFM 65.1268.01

Ein gewöhnliches lineares Differentialpolynom (linke Seite einer gewöhnlichen Differentialgleichung) kann bekanntlich durch ein ähnliches Polynom nur dann auf ein ähnliches Polynom transformiert werden, wenn beide Polynome keine gemeinsamen Lösungen besitzen. Darboux (Surfaces, livre IV (1896; 1925), chap. 8) hat bewiesen, daß gerade umgekehrt ein partielles lineares Differentialpolynom \(a\) zweiter Ordnung (linke Seite der Laplaceschen Gleichung) durch ein ähnliches Polynom \(b\) beliebiger Ordnung nur dann auf ein ähnliches Polynom \(a^{(1)}\) zweiter Ordnung transformiert werden kann, wenn die Polynome \(a\), \(b\) eine bestimmte Anzahl von gemeinsamen partikulären linear unabhängigen Lösungen besitzen. Dieses Ergebnis von Darboux beweist Verf. von neuem durch eine andere den gewöhnlichen linearen Differentialgleichungen entnommene Methode der Variation der Konstanten. Wenn \(z_1\), \(z_2\), …, \(z_5\) die partikulären linear unabhängigen Lösungen der Laplaceschen Gleichungen \(a\) sind, so bestimmt er durch Differenzieren des Ausdruckes \(z= \sum \lambda_iz_i\) die Funktionen \(\lambda_i\) so, daß \(z\) der Gleichung \(a\) genügt, wodurch er ein System von sechs linearen partiellen Differentialgleichungen mit 5 Unbekannten \(\lambda_i\) erhält. Mit Hilfe von \(\lambda_i\) findet Verf. durch Quadraturen eine partikuläre Lösung von \(a\), wenn er eine partikuläre Lösung der nach Darboux transformierten Gleichung \(a^{(1)}\) als bekannt voraussetzt.
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