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Nouvelle méthode pour traiter certains problèmes relatifs aux équations du type elliptique. (French) JFM 65.1277.02
Verf. zeigt, daß gewisse Randwertprobleme aus der Theorie der partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus, die von anderen Autoren auf Integralgleichungen mit Hauptwerten zurückgeführt wurden, auch mit Hilfe Fredholmscher Integralgleichungen behandelt werden können. Als Hilfsbetrachtung dient zunächst die folgende Aufgabe: Im Raume der \(m\) Variablen \(x_1\), …, \(x_m\) (\(m \geqq 2\)) wird für \(x_m > 0\) eine Funktion \(u(x_1,\ldots, x_m)\) gesucht, die dort der Gleichung \(\varDelta u-g^2u=f(x_1,\ldots,x_m)\), auf \(x_m = 0\) der Bedingung \(\theta u=\varphi(x_1,\ldots, x_m)\) genügt und im Unendlichen verschwindet (\(\varDelta=\dfrac{\partial^2}{\partial x_1^2}+ \cdots + \dfrac{\partial^2}{\partial x_m^2}\), \(\theta u\) Ableitung von \(u\) in einer festen Richtung, \(f\) stetig für \(x_m\geqq 0\), \(\varphi\) stetig auf \(x_m = 0\), \(g> 0\), konst.). Es wird die Greensche Funktion des Problems aufgestellt, mit deren Hilfe sich die eindeutige Lösung explizit angeben läßt. Diese Betrachtungen lassen sich leicht auf den Gleichungstyp \(\sum\limits_{\alpha,\beta}a_{\alpha\beta} \dfrac{\partial^2u}{\partial x_\alpha\partial x_\beta}-g^2u =f\) für \(\sum\limits_\alpha c_\alpha x_\alpha <k\) nebst der Bedingung \(\sum\limits_{\alpha,\beta}a_{\alpha\beta}c_\beta \dfrac{\partial u}{\partial x_\alpha}=\varphi\) auf \(\sum\limits_\alpha c_\alpha x_\alpha = k\) verallgemeinern (\(a_{\alpha\beta}\), \(c_\alpha(\sum\limits_\alpha c_{\alpha}^2=1)\), \(k\) Konstante). – Das Hauptproblem der Untersuchung lautet: Im Raume der \(x_1\), …, \(x_m\) sei ein beschränkter Bereich \(D\) gegeben, der durch die Gesamtheit \(S\) berandet sei. Es ist eine in \(D+S\) stetige Funktion \(u\) zu finden, die in \(D\) der Gleichung \[ \sum_{\alpha,\beta}a_{\alpha\beta} \frac{\partial^2u} {\partial x_\alpha\partial x_\beta} + \sum_\alpha b_\alpha \frac{\partial u}{\partial x_\alpha}+cu =f \] und auf \(S\) der Randbedingung \(\sum\limits_{\alpha,\beta}a_{\alpha\beta} \bar \omega_\beta\dfrac{\partial u}{\partial x_\alpha}+\varkappa u=\varphi\) genügt \((a_{\alpha\beta}(x_1, \ldots,x_m)\), \(b_\alpha\), \(c\), \(f\) in \(D+S\) erklärte Funktionen; \(\varkappa\), \(\varphi\) auf \(S\) gegeben, \(\bar\omega_\beta\) Richtungskosinus der Normalen auf \(S\)). Unter Verwendung der Hilfsbetrachtungen gelingt auch hier die Konstruktion einer Greenschen Funktion, mit deren Hilfe das Problem, wie angekündigt, auf eine der Fredholmschen Theorie zugängliche Integralgleichung geführt wird.

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