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On the elementary solution of the general linear differential equation of the second order with analytic coefficients. (English) JFM 65.1278.01

Betrachtet wird die partielle Differentialgleichung \[ F(u) = \sum_{\alpha,\beta=1}^ng^{\alpha\beta} \frac{\partial^2u} {\partial x^\alpha\partial x^\beta} +\sum_{\alpha=1}^nf^\alpha\frac{\partial u} {\partial x^\alpha}+ bu = 0, \tag{A} \] wo die \(g\), \(f\) und \(b\) analytische Funktionen der reellen Veränderlichen \(x^1\), …, \(x^n\) in einem Gebiete des reellen, \(n\)-dimensionalen, kartesischen Raumes (\(n \geqq 2\)) oder, allgemeiner, in einer analytischen Mannigfaltigkeit sind. Die Determinante \(|g^{\alpha\beta}|\) aus den Komponenten des Fundamentaltensors \((g^{\alpha\beta})\) soll überall von Null verschieden sein. Dabei wird zunächst angenommen, daß die quadratische Differentialform \(ds^2=g_{\alpha\beta}\,dx^\alpha dx^\beta\) positiv definit sei, also die Metrik eines Riemannschen Raumes bestimmt; am Schlusse der Arbeit wird auf den Fall nichtpositiv definiter \(ds^2\) eingegangen.
Es handelt sich vor allem um eine einfache Gewinnung der Hadamardschen Elementarlösung von (A) (vgl. Hadamard, Lectures on Cauchy’s problem in linear partial differential equations (1923; F. d. M. 49, 725 (JFM 49.0725.*)), Chap. III). Im Zusammenhang damit ergibt sich ein neues Kriterium dafür, daß ein Riemannscher Raum eben ist (vgl. unten, I, 1). In der Arbeit wird durchweg Gebrauch gemacht von der Tensorschreibweise; unter Benutzung der invarianten Ableitungen (im Sinne des Ricci-Kalküls) \(u,_\alpha\); \(u,_{\alpha\beta}\) wird (A) in die Gestalt gesetzt \[ F(u)= \varDelta u+a^\alpha u,_\alpha+ bu, \quad \text{wo} \quad \varDelta u=g^{\alpha\beta}u,_{\alpha\beta}. \tag{B} \]
Im folgenden bedeuten \(y^\alpha\) stets Normalkoordinaten eines Punktes \(Y\) bezüglich eines Punktes \(P\) als Nullpunkt, also \(\varGamma=(g_{\alpha\beta})_Py^\alpha y^\beta\) das Quadrat der geodätischen Entfernung von \(P\) und \(Y\). Als eine euklidische Lösung von (B) wird bezeichnet \(u=\log \varGamma\) für \(n=2\), bzw. \(u=\varGamma^{-p}\) für \(n \geqq 3\), wobei \(p\neq 0\).
Sätze: I) 1) Ein Riemannscher Raum ist dann und nur dann eben, wenn die Determinante der Komponenten seines metrischen Fundamentaltensors konstant ist in jedem Normalkoordinatensystem; 2) dann und nur dann besitzt \(\varDelta u=0\) in einem \(n\)-dimensionalen Riemannschen Raum eine (nicht-triviale) euklidische Lösung mit \(p = \frac 12(n-2)\), falls \(n \geqq 3\), für beliebiges \(P\), wenn der Raum eben ist.
II) Es handelt sich jetzt um die Existenz analytischer Lösungen \(U\) von (B) der Form \(U=J\cdot \log \varGamma+ K \cdot\varGamma^{-p}\), mit \(J=\sum\limits_{i=0}^\infty v_i\varGamma^i\), \(K=\sum\limits_{i=0}^\infty u_i\varGamma^i\), wo die \(u_i\), \(v_i\) analytisch sind in der Umgebung von \(y^\alpha = 0\), und wo \(p\) konstant ist. 1) Für \(J=0\), \(p = 0\) gibt es zu beliebigem \(u_0\) immer eine solche (singularitätenfreie) Lösung \(U\); 2) für \(n=2k+1\) gibt es ein \(U\) mit \(J=0\), \(p=-\frac 12(n-2)\); ferner gibt es ein eindeutig bestimmtes Koordinatensystem \(w^\alpha\), für welches ein solches \(U\) darstellbar ist in der Form \([(g_{\alpha\beta})_Pw^\alpha w^\beta]^p\); 3) für \(n=2k\geqq 4\), bzw. für \(n=2\), existiert \(U\) mit \(p=\frac 12(n-2)\), bzw. mit \(p=0\). Die Konvergenz der Reihenentwicklungen wird in Hadamardscher Weise bewiesen.

Citations:

JFM 49.0725.*
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