Un type d’opérateurs homogènes. (Russian. French summary) JFM 65.1279.01

Aisenstat, N.

Učenye Zapiski Moskov. gosud. Univ., Matematika, 15, 95-112 (1939).

Verf. zeigt, daß man einen beliebigen elliptischen Operator \[ L[M;f(P)]=-a(M)f(M)+ \sum_{i=1}^n a_i(M)\frac{\partial f}{\partial x_i}+ \sum_{i,j=1}^n a_{ij}(M)\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a(M) \geqq 0) \tag{1} \] durch folgende deskriptive Definition erhält: 1) \(L\) ist homogen, d. h. \[ L[M;f_1+f_2]=L[M;f_1]+L[M;f_2]; \quad L[M;af]=a[M;f]; \] 2) Extremumsbedingung. Besitzt \(f(P)\) ein (absolutes) nichtnegatives Maximum, so ist \(L\) nichtpositiv. Für reguläre (d. i. zweimal stetig differenzierbare) Funktionen \(f\) folgt dann mittels Taylorentwicklung, wie Verf. zeigt, die Darstellung (1). Umgekehrt ist jeder Operator nach der ersten Definition auch ein solcher gemäß der zweiten. Zum Schluß wird eine Darstellung des Operators auch für nicht notwendig reguläre Funktionen gegeben, welche eine Verallgemeinerung des (Laplaceschen) Operators von Privaloff darstellt (vgl. Rec. math., Moscou, 32 (1925), 464-471; F. d. M. 51, 363 (JFM 51.0363.*)).

Reviewer: Tautz, G., Prof. (Breslau)

JFM Section:

Zweiter Halbband. D. Analysis. 12. Differentialgleichungen der mathematischen Physik und Potentialtheorie. c) Verallgemeinerungen der Potentialgleichungen. Elliptische Differentialgleichungen.

Citations:

JFM 51.0363.*