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Sur une équation intégrale de première espèce. (French) JFM 65.1296.01

Verf. behandelt die Integralgleichung \[ \int\limits_0^a[N(x,y)+L_r(x,y)]\varphi(y]\,dy-f(x)= 0. \tag{1} \] \(N\) ist analytisch in \(x\) und \(y\) und besitzt für \(x = y\) einen Pol erster Ordnung. \(L_r\) ist Realteil einer analytischen Funktion mit logarithmischer Singularität für \(x = y\). \(f\) ist ebenfalls analytisch. Alle Funktionen sind reell für reelle Werte von \(x\) und \(y\). Das Integral ist als Cauchyscher Hauptwert zu verstehen, ebenso wie entsprechende Integrale im folgenden. Der Kern \(N(x,y)\) heißt abgeschlossen, wenn die Gleichung \(\int\limits_0^a N\cdot h\,dy =0\) nur die triviale (analytische!) Lösung \(h=0\) hat. \(N=\operatorname{ctg}\dfrac \pi\alpha(x-y)\) ist nicht abgeschlossen, dagegen \(N= \operatorname{ctg} \dfrac \pi\alpha(x-y)+\mu\), wo \(\mu\) eine von Null verschiedene Konstante ist. Nun wird die linke Seite von (1), wo \(x\) durch \(y\) ersetzt ist, mit einem abgeschlossenen Kerne \(N_1(x, y)\) multipliziert und von 0 bis \(a\) integriert. Dies gibt nach gewissen Umformungen eine Integralgleichung zweiter Art mit teils Fredholmschem, teils Volterraschem Kern, die wegen der Abgeschlossenheit von \(N_1\) mit (1) gleichwertig ist. Sie läßt sich noch in eine gewöhnliche Fredholmsche Gleichung mit analytischem Kern transformieren, welche, wenn \(\lambda=\dfrac 1{\pi^2}\) kein Eigenwert ist, eine reguläre Funktion als Lösung besitzt, die auch Lösung von (1), und zwar die einzige ist. Verf. betrachtet noch in ähnlicher Weise die Gleichung \(\int\limits_0^a N\varphi\,dy=f\), die eine einzige reguläre Lösung besitzt, wenn \(N\) abgeschlossen ist. Andernfalls muß \(f\) einer gewissen Orthogonalitätsbedingung genügen.
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