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Remarks concerning group spaces and vector spaces. (English) JFM 65.1314.01
Verf. führt in einer Gruppe \(\mathfrak G\) (additiv geschrieben), ausgehend von den bekannten drei Axiomen der abgeschlossenen Hülle, eine Topologie ein und verlangt, daß die Bildung der abgeschlossenen Hülle invariant ist bei Spiegelung am Nullelement und bei Translationen: \(\overline{(-X)} = - \overline{X}\), \(\overline{(X+y)} = \overline{X} + y\) für \(X \in\mathfrak G\), \(y\in\mathfrak G\) (analog eventuell für die linksseitige Translation); er spricht dann von einem Gruppenraum. Auch bei dieser Definition gelten die Sätze von Banach (Théorie des opérations linéaires (1932; JFM 58.0420.*), S. 21-23): Enthält ein rechtseitiger Gruppenraum \(\mathfrak G\) einen Untergruppenraum \(\mathfrak H\), der von zweiter Kategorie ist und die Bairesche Eigenschaft besitzt, so ist \(\mathfrak H\) zugleich offen und abgeschlossen und, falls \(\mathfrak G\) zusammenhängend ist, mit \(\mathfrak G\) identisch. – Ist eine isomorphe Abbildung von \(\mathfrak G\) auf einen anderen Gruppenraum in einem Punkte stetig, dann überall. Neben der Addition als Grundoperation komme jetzt noch eine skalare Multiplikation \(\lambda x\) hinzu, wo \(\lambda\) in einem Körper \(\mathfrak L\) variiert. Außer den üblichen formalen Regeln für diese Multiplikation wird verlangt, daß \(\overline{(\lambda X)}\) \(= \lambda\overline{X}\) für \(\lambda\in\mathfrak L\), \(X\in\mathfrak G\); ferner sei auch in \(\mathfrak L\) mittels der abgeschlossenen Hülle eine Topologie erklärt, und es soll gelten: \(\overline{(\varLambda x)} = \overline{\varLambda}x\) für \(\varLambda\in\mathfrak L\), \(x \in\mathfrak G\). \(\mathfrak G\) heißt dann ein stetiger Vektorrraum. Es werden die Sätze bewiesen: Ist \(\mathfrak G\) ein stetiger Vektorraum und \(\mathfrak L\) zusammenhängend, so ist ein Vektorunterraum von \(\mathfrak G\) von zweiter Kategorie und mit der Baireschen Eigenschaft stets mit \(\mathfrak G\) identisch. – Eine additive und stetige Transformation \(U(x)\) von \(\mathfrak G\) auf einen anderen stetigen Vektorraum mit dem gleichen Skalarkörper \(\mathfrak L\) ist sicher dann homogen (d. h. \(U(\lambda x) = \lambda U(x)\)), wenn die rationalen Zahlen in \(\mathfrak L\) dicht sind und \(\mathfrak L\) ein regulärer Raum ist.
Subjects:
Zweiter Halbband. D. Analysis. 16. Lineare und Funktionenräume. Allgemeine Funktionalanalysis. a) Lineare und Funktionenräume.
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Full Text: EuDML