×

L’addition des variables aléatoires définies sur une circonférence. (French) JFM 65.1346.01

Es wird die Arithmetik und Analyse jener Verteilungsgesetze (Vtge) \(\varPhi(x)\) untersucht, die aus entlang der reellen Achse \(G\) beschränkt schwankenden Vtgen \(F(x)\) mit endlicher relativer \(\int\limits_G dF(x)\) und absoluter \(\int\limits_G| dF(x)|\) Gesamtmasse nach Abwicklung auf einen Kreis \(\varGamma\) vom Umfang Eins entstehen, d. h. durch \(\varPhi(x) -\varPhi(a) =\sum \limits_{n=-\infty}^{+\infty} (F(x + n) - F (a + n))\) bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt werden.
Zunächst zeigt sich, daß die Komposition \(\varDelta F_1(x) = \int\limits_G \varDelta F_2(x- y)dF_3(y)\) genau dieselbe der abgewickelten \(\varPhi_i(x)\) entlang \(\varGamma\) nach sich zieht, eine Beziehung, die sich wiederspiegelt zwischen der Fourier-Transformierten bzw. den Koeffizienten \[ A_k(t)=\int\limits_Ge^{2\pi itx}dF_k(x), \;\;A_k(n)=\alpha_{kn}=\int\limits_{\varGamma}e^{2\pi i nx} d\varPhi_k(x) \] in der Produktdarstellung \(A_1 = A_2A_3\), bei den Voraussetzungen der Wahrscheinlichkeitstheorie in der Summendarstellung \(X_1 =X_2 + X_3\) der entsprechenden unabhängigen Zufallsvariablen bzw. in der Faltung \(f_1(x)= \int\limits_G f_2(x-y)f_3(y)dy\) der Dichtefunktionen und entsprechend bei den \(\varphi_k(x)\) entlang \(\varGamma\).
Diese neuartige Nebeneinanderstellung ergibt eine beträchtliche Zahl ähnlicher und wesentlich verschiedener Sätze über entlang \(G\) bzw. \(\varGamma\) stabile Verteilungen, abzählbare, sowie stetige Folgen von unabhängigen Zufallsvariablen und bei den letzteren auftretende unendlich teilbare Vtge, bezüglich deren auf die Arbeit selbst verwiesen werden muß.
So verdienen entlang \(\varGamma\) selbst die als Spezialfälle der vom Verf. früher betrachteten stabilen Verteilungsgesetztypen hier eingeführten stabilen, d. h. bei obiger Komposition gemäß \(\varPhi_1\equiv \varPhi_2\equiv \varPhi_3\) sich selbst reproduzierenden Verteilungen Interesse, indem sie in der Wahrscheinlichkeitstheorie die nichttrivialen, entlang \(\varGamma\) oder mindestens zwischen den Eckpunkten eines eingeschriebenen regulären \(p\)-Ecks gleichmäßigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen ergeben.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Numdam EuDML