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Sur certains processus stochastiques homogènes. (French) JFM 65.1346.02

Unter einem linearen homogenen stochastischen Prozeß wird die Bildung einer stochastischen Veränderlichen \(X(t)\) verstanden mit folgenden Eigenschaften: 1) Der Zuwuchs \(\varDelta X\), der einem Zuwuchs \(\varDelta t = \tau\) der Veränderlichen \(t\) entspricht, hängt vom unbeschränkt teilbaren Gesetz \(\mathfrak L(\tau)\) mit der charakteristischen Funktion \(\varphi^\tau (z)\) ab; 2) \(X(t + \tau) - X(t)\) ist von den Werten \(X(t')\) mit \(t'\leqq t\) unabhängig.
\(y = Y (t )\) sei das Maximum von \(X (t')\) für \(0\leqq t' \leqq t\), \(t = T (y)\) die Umkehrfunktion (kleinste Wurzel von \(X(t)=y\)). Es ist stets \[ \mathfrak W\{T(y)\leqq t\}=\mathfrak W\{Y(t)\geqq y\}. \]
Theorem I, II. Ist die Wahrscheinlichkeitsdichte, daß \(X(t)\) zwischen \(x\) undi \(x+dx\) liegt, \(f (t, x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\tfrac{x^2}{2t}}\) (Gaußsches Gesetz), so genügt \(T(y)\) dem durch \[ \psi(y, z) = \log \varphi (y,z)=\dfrac{y}{\sqrt{2\pi}} \int\limits _0^\infty (e^{izu} - 1) u^{-\tfrac32} du\quad (z>0) \] definierten Prozeß. \(Y (t)\) und \(|X(t)|\) genügen dem gleichen Wahrscheinlichkeitsgesetz, und es ist \[ \begin{aligned} &\mathfrak W\{T(y)\leqq t\} = \dfrac{2}{\sqrt{2\pi t}}\int\limits _y^\infty e^{-\tfrac{x^2}{2t}} dx \;\;\text{oder}\\ &\mathfrak W\{T(y)\leqq t\} = \dfrac{y}{\sqrt{2\pi }}\int\limits _y^t e^{-\tfrac{y^2}{2u}} u^{-\tfrac32}du, \end{aligned} \] so daß sich für \(T(1)\) die Wahrscheinlichkeitsdichte \[ f(u)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}u^{-\tfrac32}e^{-\tfrac{1}{2u}} \] ergibt. – Es folgt ein Studium dieses Gesetzes.
Weiter wird im Gaußschen Fall die Verteilung der Nullstellen von \(X(t)\) untersucht, ferner die Verteilung der \(t\)-Werte, für die \(X(t)\) ein gegebenes Vorzeichen oder einen gegebenen Wert besitzt. Weitere Fragestellungen dieser Art.

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Full Text: EuDML