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The reduction of the singularities of an algebraic surface. (English) JFM 65.1399.03

Verf. entwickelt einen neuen Beweis des fundamentalen Satzes der algebraischen Geometrie, nach welchem jede Fläche in eine singularitätenfreie Fläche birational transformiert werden kann. Der Satz wurde zuerst von B. Levi (Atti Accad. Sci. Torino 33 (1897), 66-86; F. d. M. 28, 557 (JFM 28.0557.*)) und dann von Chisini (Mem. Accad. sci. Ist. Bologna (6) 8 (1921), 3-42; F. d. M. 48, 750 (JFM 48.0750.*)) und Albanese (Rend. Circ. mat. Palermo 48 (1924), 321-332; F. d. M. 50, 437 (JFM 50.0437.*)), neuerdings von Walker (Ann. Math., Princeton, (2) 36 (1935), 336-365; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 705) bewiesen. Der Beweis des Verf. hat arithmetischen Charakter und stützt sich auf idealtheoretische und bewertungstheoretische Begriffe. Mit Recht betont Verf. die Bedeutung des Einspielens der modernen Algebra in seinen Beweis; während nämlich in den Beweisen der italienischen Schule eine mehr oder minder genaue Kenntnis der verwickelten Erscheinungen der unendlich benachbarten Singularitäten notwendig war, erlaubt die moderne Algebra den Auflösungsprozeß zu trivialisieren, so daß ein für alle mal eine endliche Kette von Transformationen gegeben wird, die jede gegebene Fläche in eine singularitätenfreie Fläche transformiert.
Der Auflösungsprozeß ist folgender: In einer früheren Untersuchung (Amer. J. Math. 61 (1939), 249-294; F. d. M. 65, 118 (JFM 65.0118.*)) hat Verf. eine Fläche \(F\) (deren Gleichungskoeffizienten in einem algebraisch abgeschlossenen Körper \(K\) der Charakteristik Null liegen) als normal im arithmetischen Sinne (i. a. S.) definiert, wenn \(K [w_0, w_1,\ldots, w_n]\) (wo \(w_0,\, w_1,\,w_2,\,\ldots,\, w_n\) die homogenen Koordinaten des allgemeinen Punktes auf \(F\) bedeuten) ganzalgebraisch abgeschlossen ist. Eine i. a. S. normale Fläche ist auch im geometrischen Sinne normal, aber nicht notwendig umgekehrt. Jede Fläche \(F\) kann in leichter Weise in eine im i. a. S. normale birational transformiert werden; und eine i. a. S. normale Fläche hat keine mehrfachen Kurven, besitzt also nur eine endliche Anzahl von singulären Punkten,
Verf. geht nun von einer i. a. S. normalen Fläche \(F\) aus. \(P\) sei einer der (in endlicher Anzahl vorhandenen) singulären Punkte auf \(F\). In einem ersten Schritte wird \(F\) durch die quadratischen Hyperflächen durch \(P\) in eine Fläche \(F'\) birational transformiert. Der Punkt \(P\) geht so in eine fundamentale Kurve über, auf welcher eine endliche Anzahl von singulären Punkten existieren. Sei \(P_1\) ein beliebiger der genannten singulären Punkte. \(F'\) kann möglicherweise i. a. S, nicht normal sein. In diesem Falle transformiere man \(F'\) in, eine i. a. S. normale Fläche \(F_1\), die den singulären Punkt Pl besitzt (zweiter Schritt). Die zwei beschriebenen Schritte werden dann iteriert, und man erhält so eine Folge von normalen Flächen, \(F,\, F_1,\, F_2,\,\ldots\) und eine entsprechende Folge von Punkten \(P,\, P_1,\, P_2,\,\ldots\) Der entscheidende Punkt besteht nun in dem Beweise der Tatsache daß, für hinreichend großes \(m\), alle \(P_i\) mit \(i > m\) einfache Punkte sind. Dies nennt Verf. das Theorem der “lokalen Reduktion.”
Zum Beweise dieses Satzes bemerkt Verf., daß das arithmetische Analogon eines Zweiges auf \(F\) eine nulldimensionale Bewertung des Körpers \(\varSigma\) der rationalen Funktionen auf \(F\) ist. Nun entspricht nach Verf. jedem Punkte \(P\) einer Fläche \(F\) ein (in der obenzitierten Abhandlung in geeigneter Weise definierter) Quotientenring \(Q (P)\). Für die Folge \(P,\, P_1,\, P_2,\,\ldots\) gilt dann \(Q (P) \subset Q (P_1) \subset Q(P_2)\ldots\) und \(\sum_i Q(P_i)\) ist ein Bewertungsring einer nulldimensionalen Bewertung für \(\varSigma\). Weiter wird bewiesen, daß zu jedem solchen Bewertungsring \(B\) eine Folge von nichtsingulären Punkten \(A_i\) mit \(\sum_iQ(A_i) = B\) existiert. Endlich folgt, für hinreichend großes \(i\), \(Q(P_i) = Q(A_i)\). Hieraus gewinnt Verf. das Theorem der lokalen Reduktion und dann die vollständige Auflösung der Singularitäten auf \(F\).

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