×

Sulle varietà algebriche a tre dimensioni le cui sezioni iperpiane sono superficie di genere zero e bigenere uno. (Italian) JFM 65.1403.02

Mem. Mat. Sci. fis. natur. Soc. Ital. Sci. (3) 24 (1938), 41-66 (1939).
L. Godeaux hat eine Art dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten \(W_3\) betrachtet (Acad. Belgique Bull. Cl. Sci. (5) 19 (1933), 134-140; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 652), die keine Kegel sind, und deren Hyperebenenschnittflächen \(F\) die Geschlechter \(p_a = p_g = 0\), \(P_6 = 1\) besitzen; die Voraussetzung \(P_6 = 1\) hat zur Folge, daß die Flächen \(F\) eine bikanonische Kurve der Ordnung Null besitzen. Eine solche \(W_3\) hat die Ordnung \(2p - 2\), wo \(p\) das Geschlecht der Hyperebenenschnitte von \(F\) bedeutet, gehört einem Raume \(S_p\) an und enthält immer ein lineares Flächensystem \(|\varPhi |\) mit \(p_a = p_g = P_2=1 \); \(|\varPhi|\) ist das Bild auf \(W\) einer \(M_3^{2p-6}\) eines Raumes \(S_{p-1}\). Die Untersuchung von Godeaux wird hier fortgesetzt und sehr vertieft, im Sinne, daß alle \(W_3^{2 p-2}\) der gewünschten Art bestimmt werden; sie sind nur fünf und entsprechen den Werten \(p = 4,\, 6,\, 7,\, 9,\, 13\). Anfangspunkt der vorliegenden neuen Untersuchung ist eine Vervollständigung einer Behauptung von Godeaux; er hatte bewiesen, daß die linearen Flächensysteme \(| F |\) und \(|\varPhi|\) der Gleichung \(| 2F | = | 2\varPhi |\) genügen; diese Übereinstimmung aber der beiden Systeme \(| 2F |\), \(| 2\varPhi|\) besteht nur bis auf evtl. Fundamentalelemente, die auf \(W\) die Form isolierter mehrfacher Punkte haben müssen; eine feinere Analyse der Ordnungen jener Elemente zeigt, daß \(|\varPhi|\) auf \(M_3^{2p-6}\) acht Fundamentalebenen besitzt, denen auf \(W_3^{2p-2}\) acht vierfache Punkte entsprechen. Es ist bemerkenswert, daß eine Eigenschaft der Invarianten der Schnittflächen einer \(W_3\) die Existenz einer gewissen Anzahl getrennter mehrfacher Punkte von \(W_3\) zur Folge hat.
Im Falle \(p = 4\) hat man eine irrationale \(W_3^6\) des Raumes \(S_4\), die Godeaux schon studiert hat; sie besitzt 6 Doppelebenen, die durch denselben Punkt hindurchgehen. – Die Unterscheidung der übrigen 4 Arten von \(W_3^{2p-2}\) ist auf der Diskussion der verschiedenen Formen begründet, die die Konfiguration der 8 Ebenen von \(M_3^{2p-6}\) aufweisen kann. Es wird vorausgesetzt, daß die Punkte, die zwei der 8 Ebenen evtl. gemein haben, alle getrennt liegen, und daß die Konfiguration der 8 Ebenen symmetrisch in bezug auf ihre Ebenen ist, im Sinne, daß jede Ebene mit derselben Anzahl der übrigen inzident ist; in jedem Falle wird zunächst \(M_3^{2p-6}\) konstruiert, um dann die Existenz der entsprechenden \(W_3^{2p-2}\) zu beweisen. – Im Falle \(p = 6\) sind die 8 Ebenen paarweise inzident; als \(M_3^{2p-6}\) hat man die Schnitt-\(M_3^6\) einer Quadrik und einer kubischen Form \(\varGamma\) im Raume \(S_5\), unter der Voraussetzung, daß 8 Ebenen der Quadrik desselben Systems auf \(\varGamma\) liegen; die entsprechende \(W_3^{10}\) des \(S_6\) ist rational; das Abbildungssystem auf \(S_3\) besteht aus Flächen \(F^7\), die drei doppelte kubische Raumkurven besitzen; diese drei Kurven haben 5 Punkte gemein und liegen paarweise auf drei Quadriken. – Im Falle \(p = 7\) verteilen sich die 8 Ebenen auf 4 Paare, so daß zwei Ebenen einen oder keinen Punkt gemein haben, je nachdem sie zwei verschiedenen oder demselben Paare angehören; die entsprechende \(M_3^8\) des \(S_6\) enthält auch eine zweite ganz ähnliche Konfiguration anderer 8 Ebenen; die \(W_3^{12}\) des \(S_7\) ist rational und wird auf \(S_3\) durch das System aller Flächen \(F^6\) abgebildet, die die Kanten eines Tetraeders doppelt enthalten und durch eine gewisse kubische Raumkurve noch hindurchgehen. – Im Falle \(p = 9\) verteilen sich die 8 Ebenen in zwei Gruppen von je 4, so daß zwei Ebenen einen oder keinen Punkt gemein haben, je nachdem sie zwei verschiedenen oder derselben Gruppe angehören; man hat jetzt eine \(M_3^{12}\) des \(S_8\), die als Schnitt einer Quadrik mit einer Segreschen \(V_4^6\) konstruiert werden kann, unter der Voraussetzung, daß die Quadrik 4 Ebenen eines jeden der beiden Systeme der \(V_4^6\) enthält; die \(W_3^{16}\) des \(S_9\) ist rational und wird auf \(S_3\) durch das System aller \(F^7\) abgebildet, die die 6 Kanten von zwei Dreikanten als Doppelgeraden enthalten. – Im Falle \(p = 13\) schließlich hat eine jede der 8 Ebenen mit nur 3 der anderen je einen Punkt gemein; die entsprechende \(W_3^{24}\) des \(S_{13}\) ist wieder rational und wird auf \(S_3\) durch das System aller \(F^6\) abgebildet, die die 6 Kanten eines Tetraeders als Doppelgeraden enthalten. – Gleichzeitig hat man auch alle linearen Flächensysteme eines Raumes \(S_3\) gefunden, für deren Flächen \(p_a = p_g = 0\) und \(P_6 = 1\) ist.