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Die Kuratowskische Abbildung und der Hopfsche Erweiterungssatz. (German) JFM 65.1440.05

Es sei \(R\) ein topologischer Raum, U eine Überdeckung von \(R\) durch irgendwelche (nicht notwendig offene) Mengen und \(N\) der in einem euklidischen Raum realisierte Nerv von \(\mathfrak U\). Eine stetige Abbildung \(\varkappa\) von \(R\) in das Polyeder \(\overline N\) nennt Verf. eine Kuratowskische Abbildung bezüglich \(\mathfrak U\), wenn sie folgende Eigenschaft hat: Ist der Punkt \(p\) von \(R\) in der Menge \(U\) von \(\mathfrak U\) enthalten, so ist die \(U\) entsprechende Ecke von \(N\) eine Ecke des \(\varkappa (p)\) enthaltenden Simplexes von \(\overline N\).
Verf. beweist zunächst folgenden Satz I. Es seien \(F\) ein Kompaktum, \(\bigl(K_1,\, K_2,\,\ldots ;\;K_m = \pi_m^{m+1}(K_{m+1})\bigr)\) ein Projektionsspektrum von \(F\) (also die Folge der Nerven einer Folge von Unterteilungen \(\mathfrak U_m\) von \(F\)). Weiter sei \(\varkappa_m\) eine Kuratowskische Abbildung von \(F\) in \(\overline K_m\) bezüglich \(\mathfrak U_m\) und \(Z = (z_1, z_2, \ldots)\), wo \(z_m\subset K_m\) ein Projektionszyklus von \(F\) [d. h. \(z_m\sim \pi_m^{m+1}(z_{m+1})\) in \(K_m\)] ist. Dann gilt \(\varkappa_m(Z)\cong z_m\); dies bedeutet genauer: Ordnet man jeder Ecke von \(z_m\) einen Punkt der entsprechenden Menge der Überdeckung \(\mathfrak U_m\) zu, so wird hierdurch \(z_m\) auf einen Zyklus \(r_m(z_m)\) in \(F\) und \(Z\) auf den konvergenten Zyklus \(r (Z) = (r_1(z_1), r_2(z_2),\ldots)\) abgebildet. Dann bedeutet die Behauptung \(\varkappa_m(Z)\cong z_m\) in \(\overline K_m\) einfach: \(\varkappa_m(r(Z))\sim z_m\) in \(\overline K_m\).
Verf. beweist mit Hilfe von I folgenden verallgemeinerten Hopfschen Erweiterungssatz: Es seien \(F\) ein \((n + 1)\)-dimensionales Kompaktum, \(F'\) ein Teilkompaktum von \(F\), \(\mathfrak R\) die additive Gruppe der reellen Zahlen mod 1 und \(f\) eine stetige Abbildung von \(F'\) in die \(n\)-dimensionale Sphäre \(S^n\). Damit \(f\) zu einer stetigen Abbildung von ganz \(F\) in \(S^n\) erweitert werden kann, ist (notwendig und) hinreichend, daß für jeden \(n\)-dimensionalen Zyklus \(Z^n\subset F'\) mit Koeffizientenbereich \(\mathfrak R\) aus \(Z^n\sim 0\) in \(F\) die Homologie \(f(Z)\sim 0\) in \(S^n\) folgt. Für Polyeder \(F\) ist dieser Satz bereits bekannt (Alexandroft-Hopf, Topologie I (1935; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 602), S. 500).
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Full Text: EuDML