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Simplicial spaces, nuclei and \(m\)-groups. (English) JFM 65.1443.01

Für einen – zunächst als endlich vorausgesetzten – (simplizialen) Komplex \(K\) werden neben den “elementaren Unterteilungen” und ihrer Umkehrung zwei weitere Arten von Abänderungen definiert: (1) Wenn \(k + 1\) Ecken von \(K\) \(k\) \((k - 1)\)-Simplexe von \(K\) bilden, während das \((k + 1)\)-te Ecken-\(k\)-tupel nicht Simplex von \(K\) ist, so darf ein \(k\)-Simplex mit diesen \(k+1\) Ecken zu \(K\) hinzugefügt werden: “Elementare Expansion” \(k\)-ter Ordnung, sowie die umgekehrte Abänderung: “Elementare Kontraktion” \(k\)-ter Ordnung, zusammengefaßt als “elementare Deformationen”. Abänderungen dieser Art sind von J. Johansson (Ber. Intern. Math. Kongr. Zürich, 1932, 2, 200-201, Avh. Norske Vidensk.-Akad. Oslo 1932, Nr. 1; F. d. M. \(58_{\text{II}}\), 1201) angewendet worden. (2) Wenn \(k+1\) Ecken von \(K\) \(k+1\) \((k - 1)\)-Simplexe von \(K\) bilden, während das durch sie bestimmte \(k\)-Simplex nicht zu \(K\) gehört, darf ein \(k\)-Simplex mit diesen Ecken zu \(K\) hinzugefügt werden: “Füllung” \(k\)-ter Ordnung -sowie der inverse Prozeß: “Perforation” \(k\)-ter Ordnung. Für die ausführliche Untersuchung dieser Abänderungen muß auf die Arbeit selbst verwiesen werden. Zwei Komplexe bestimmen denselben “simplizialen Raum” bzw. denselben “Nucleus” bzw. dieselbe “\(m\)-Gruppe”, wenn sie durch eine endliche Folge elementarer Unterteilungen bzw. elementarer Expansionen bzw. Füllungen von höherer als \(m\)-ter Ordnung und elementarer Expansionen sowie der entsprechenden inversen Operationen ineinander übergeführt werden können. Offenbar haben Komplexe mit gleichem Nucleus für jedes \(m\) gleiche \(m\)-Gruppe, Komplexe mit gleicher \(m\)-Gruppe gleiche \(n\)-Gruppen für \(n \geqq m\). Ferner ist der Nucleus, wie man leicht sieht, kombinatorisch (d. h. gegen Unterteilungen und ihre Umkehrung) invariant; seine topologische Invarianz wird nur unter gewissen Voraussetzungen (s. u.) bewiesen.
Die beiden Hauptergebnisse über \(m\)-Gruppen lauten: Dann und nur dann haben zwei zusammenhängende Komplexe gleiche 2-Gruppen, wenn sie gleiche Fundamentalgruppen haben. Dann und nur dann haben zwei Komplexe gleiche \(m\)-Gruppen für alle \(m\), wenn sie von gleichem Homotopietypus sind. Hierin ist die topologische Invarianz der \(m\)-Gruppen enthalten. Hilfsmittel zum Beweis dieses Satzes ist der Satz: Ist der Teilkomplex \(L\) von \(K\) Deformationsretrakt von \(K\), so stimmen \(L\) und \(K\) in allen \(m\)-Gruppen überein.
\(\pi_n(K)\) sei die \(n\)-te Homotopie-Gruppe von \(K\) (vgl. W. Hurewicz, Proc. Akad. Wet. Amsterdam 38 (1935); 112-119, 521-528; 39 (1936); 117-126, 215-224; F. d. M. \(61_{\text{I}}\); 618, 619; \(62_{\text{I}}\), 678), \(\alpha\in\pi_n(K)\); jedes \(g\in\pi_1(K)\) bestimmt einen Automorphismus \(\alpha\to g\alpha\) durch die Vorschrift: Wird \(g\) durch einen Weg \(c\), \(\alpha\) durch ein Sphärenbild \(f (S^n)\) durch den Punkt \(p_0\) von \(K\) dargestellt, so ist \(g\alpha\) für \(n >1\) das durch \(c + f (S^n)\), für \(n=1\) das durch \(c + f (S^1) - c\), dargestellte Element von \(\pi_n(K)\). \(\mathfrak R\) sei der Gruppenring mit den Elementen \(r = \sum a_ig_i\), \(g_i\in \pi_1\), \(a_i\) ganz rational, nur endlich viele \(a_i\not= 0\). \(r(\alpha_1,\,\ldots,\,\alpha_k)\) bezeichne die aus den Elementen \(r_1\alpha_1 + \cdots+r_k\alpha_k\) (\(r_k \in\mathfrak R\)) bestehende Untergruppe von \(\pi_n (K)\). Ist nun \(K^*\) ein Komplex, der aus \(K\) dadurch entsteht, daß \(k\) \((n + 1)\)-dimensionale Elemente \(E^{n+1}_1,\,\ldots,\, E^{n+1}_k\) (\(n>1\)) vermittels simplizialer Abbildungen ihrer Ränder in \(K\) an \(K\) angeheftet werden (die \(E^{n+1}_\varkappa\) heißen “einfache Membranen”), ist ferner \(f(S^n)\) ein Sphärenbild in \(K\), dem in \(\pi_n(K)\) das Element \(\alpha\), in \(\pi_n(K^*)\) das Element \(\alpha^*\) entspricht, so ist \(\alpha\to\alpha^*\) ein Homomorphismus von \(\pi_n(K)\) in \(\pi_n(K^*)\) mit dem Kern \(r(\alpha_1,\,\ldots,\,\alpha_k)\), wobei die \(\alpha_\varkappa\) die den Rändern der \(E^{n+1}_\varkappa\) entsprechenden Elemente von \(\pi_n(K)\) sind und \(r(\alpha_1,\,\ldots,\, \alpha_k)\) die Untergruppe der Elemente \(r_1\alpha_1+\cdots + r_k\alpha_k\), \(r_\varkappa \in\mathfrak R\), von \(\pi_n(K)\) bezeichnet; es ist \(\pi_n(K^*) = \pi_n(K) - r(\alpha_1,\ldots, \alpha_k)\). Entsteht \(\bar K{}^*\) ebenso aus \(K\) durch Einheften der einfachen Membranen \(\bar E{}^{n+1}_1,\,\ldots,\, \bar E{}^{n+1}_k\), so haben \(K^*\) und \(\bar K{}^*\) dann und nur dann dieselbe \((n + 1)\)-Gruppe, wenn \(r(\alpha_1,\ldots, \alpha_k) = r(\bar\alpha_1,\ldots, \bar\alpha_k)\), also \[ \alpha_i = \sum r_{ij} \bar \alpha_j,\quad \bar \alpha_i = \sum \bar r_{ij}\alpha_j\qquad (i,\, j = 1,\,\ldots,\, k;\;r_{ij},\, \bar r_{ij} \in\mathfrak R). \]
Obgleich die beiden Komplexe \(K^*\), \(\bar K{}^*\), falls sie als höchstens \((n + 1)\)-dimensional vorausgesetzt werden, in der \((n + 1 )\)-Gruppe und allen Zusammenhangszahlen übereinstimmen, bleibt die Frage, ob sie den gleichen Nucleus haben, und ebenso weitere damit zusammenhängende Fragen über den Nucleus, unentschieden. Unter speziellen Voraussetzungen über \(\pi_1(K)\) kann man zeigen: Wenn \(K\) und \(L\) von gleichem Homotopietypus sind, haben sie gleichen Nucleus und können, falls sie höchstens \(n\)-dimensional sind, durch Deformationen höchstens \((n+1)\)-ter Ordnung ineinander übergeführt werden. Die Voraussetzungen über \(\pi_1(K)\) besagen im wesentlichen, daß jede quadratische Matrix \((r_{ij})\) mit Elementen aus \(\mathfrak R\), die eine Linksinverse besitzt, durch gewisse einfache Abänderungen in eine Matrix übergeführt werden kann, bei der Einsen in und Nullen unterhalb der Hauptdiagonale stehen. Diese Voraussetzungen sind für die nur aus dem Einheitselement bestehende Gruppe, außerdem auch für die zyklischen Gruppen der Ordnungen 2 und 3 erfüllt; in diesen Fällen ist also der Nucleus eine topologische Invariante.
Ist \(M^n\) eine \(n\)-dimensionale Mannigfaltigkeit (in dem Sinne, daß der Umgebungskomplex jeder Ecke eine Sphäre oder, für Randpunkte, ein Element ist), \(K\) ein Teilkomplex von \(M^n\), so besitzt \(K\) in der zweiten regulären Unterteilung von \(M^n\) eine reguläre Umgebung, d. h. eine Umgebung, die eine Mannigfaltigkeit ist und sich (in einem bestimmten Sinne) auf \(K\) zusammenziehen läßt; sie besteht aus allen Simplexen der Unterteilung, die wenigstens eine Ecke in \(K\) haben. Je zwei reguläre Umgebungen von \(K\) sind kombinatorisch äquivalent. Zwei im euklidischen \(R^n\) liegende Komplexe \(K\) und \(L\) mit gleichem Nucleus haben kombinatorisch äquivalente reguläre Umgebungen, wenn \(n\) groß genug ist. Ist \(K\) \(p\)-dimensional, und genügt \(\pi_1(K)\) den oben erwähnten Bedingungen für die Matrizen \((r_{ij})\), ist ferner \(n \geqq 2p + 5\), so ist der durch eine reguläre Umgebung von \(K\) bestimmte simpliziale Raum eine topologische Invariante von \(K\).
Die weiteren Untersuchungen betreffen unendliche Komplexe. Ein großer Teil der Ergebnisse bleibt erhalten, so z. B. der Satz über Fundamentalgruppe und 2-Gruppe. Dagegen läßt sich von dem Hauptergebnis über \(m\)-Gruppen nur die eine Hälfte beweisen: Komplexe von gleichem Homotopietypus stimmen in ihren \(m\)-Gruppen überein. Die Frage nach der Gültigkeit der Ümkehrung bleibt offen.
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