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The classification of prime-power groups. (English) JFM 66.0081.01
Das Problem, die Struktur der \(p\)-Gruppen aufzudecken, wird vom Verf. mit den von ihm ersonnenen allgemeinen Methoden in Angriff genommen. Zunächst gelingt es ihm, eine Zusammenfassung von Gruppen zu Familien herzustellen, bei der alle abelschen Gruppen derselben Familie angehören. Ist \(\mathfrak G\) die Gruppe, \(\mathfrak Z\) ihr Zentrum, \(\mathfrak H\) die Kommutatorgruppe, so heißen zwei Gruppen \(\mathfrak G\) und \(\mathfrak G'\) isoklin oder gleich schief, wenn 1) \(\mathfrak G/\mathfrak Z\) isomorph \(\mathfrak G'/\mathfrak Z'\), 2) \(\mathfrak H\) isomorph \(\mathfrak H'\) und 3) die Zuordnung 1) so gewählt werden kann, daß sie eine Zuordnung 2) induziert. Letzteres beruht darauf, daß der Kommutator zweier Elemente von \(\mathfrak G\) nur abhängt von den Nebengruppen von \(\mathfrak Z\), zu denen die Elemente gehören. Isokline Gruppen werden zu einer Familie zusammengefaßt; die abelschen gehören zur Gruppe 1. Invarianten einer Familie sind außer den Gruppen \(\mathfrak G/\mathfrak Z\) und \(\mathfrak H\) auch alle höheren Kommutatorgruppen, ferner die aufsteigende und die absteigende Zentralreihe. Für Untergruppen gilt der Satz, daß \(\mathfrak K\) und \(\mathfrak {KZ}\) stets zu derselben Familie gehören. Mit einem schönen Beweis wird der Satz erhärtet, daß es in jeder Familie Gruppen gibt, deren Zentrum in der Kommutatorgruppe enthalten ist. Solche Gruppen heißen Stammgruppen der Familie. Sie haben alle dieselbe Ordnung. Die übrigen Gruppen der Familie haben als Ordnung Vielfache jener Zahl, und zwar ist der zusätzliche Faktor gleich dem Index des Durchschnittes \(\mathfrak Z\cap\mathfrak H\) unter \(\mathfrak Z\). Stammgruppen haben gleiche Klasseninvarianten und gleichgradige irreduzible Darstellungen. Ist \(p^r\) die Ordnung einer Stammgruppe, so heißt \(r\) der Rang jener Familie.
Die Gruppen der Ordnung \(p^5\) zerfallen in zehn Familien, falls \(p > 2\), in acht, falls \(p= 2\). Zur Bestimmung der Gruppen vom Rang \(p^5\) wird die Frage nach der zentralen Erweiterung einer Gruppe gestreift, und es wird gezeigt, daß die Faktorgruppe des Zentrums einer \(p\)-Gruppe nicht von allgemeinstem Typus sein kann. Als zweite Anwendung betrachtet Verf. Gruppen mit einer abelschen Untergruppe vom Index \(p\). Es sei \(p^n\) die Ordnung der Kommutatorgruppe einer Stammgruppe. Dann gibt es soviele Familien, als sich die Zahl \(n\) in positive Summanden zerlegen läßt.

MSC:
20D15 Finite nilpotent groups, \(p\)-groups
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Full Text: DOI Crelle EuDML