Normal algebraic number fields. (English) JFM 66.0122.01

Mac Lane, S.; Schilling, O. F. G.

Proc. nat. Acad. Sci. USA 26, 122-126 (1940).

Vorbemerkung: Verwendet werden die Bezeichnungen der Verf., in einigen Fällen wurden der größern Deutlichkeit wegen deutsche Buchstaben gebraucht.
Verfasser geben einige Sätze aus der Theorie der Algebren über \(\mathfrak p\)-adischen Erweiterungen \(k_{\mathfrak p}\) eines algebraischen Körpers \(k\) endlichen Grades, wo \(\mathfrak p\) ein Primideal in \(k\) ist. Sei \(H_{\mathfrak p}\) eine Klasse einfacher normaler Algebren über \(k_{\mathfrak p}\) vom Index \(m_{\mathfrak p}\), so heißt eine Menge \(H = \{H_{\mathfrak p}\}\) über alle \(\mathfrak p\) solcher \(H_{\mathfrak p}\) eine Idealalgebra, wenn \(m_{\mathfrak p} = 1\) für fast alle \({\mathfrak p}\) gilt. Sei \(K/k\) normal vom Grade \(n\), \(n_{\mathfrak p} = [K_{\mathfrak P} : k_{\mathfrak p}\)], wo \(\mathfrak P\) ein (nicht näher bestimmter) Primteiler von \(\mathfrak p\) in \(K\) ist. Ist dann für jedes \({\mathfrak p}\) die Zahl \(n_{\mathfrak p}\) Teiler von \(m_{\mathfrak p}\), so sagen die Verf.: Der Körper \(K\) spaltet die Idealalgebra \(H\). Jedes \({\mathfrak p}\) von \(k\) mit \(m_{\mathfrak p} \not = 1\) heißt Verzweigungsteiler von \(H\). Gilt für ein Ideal \({\mathfrak M}\) von \(K\) die Primidealzerlegung \({\mathfrak M} = \Pi \mathfrak P^\alpha\) und ist dabei jedes \(\mathfrak P\) zu allen Verzweigungsteilern \({\mathfrak p}\) von \(H\) prim, so sagen die Verf.: \(H\) ist zu \(\mathfrak M\) prim. Ist \(H^{(1)} = \{H^{(1)}_{\mathfrak p}\}\), \(H^{(2)} = \{H^{(2)}_{\mathfrak p}\}\), so definieren wir das direkte Produkt \(H^{(1)} \times H^{(2)}\) als \(\{H^{(1)}_{\mathfrak p}\} \times \{H^{(2)}_{\mathfrak p}\}\). Die Idealalgebren bilden daher eine Halbgruppe. Sie enthält als Unterhalbgruppe die Halbgruppe aller Klassen normaler einfacher Algebren \(S/k\), die durch \(K\) gespalten werden.
Sind nun \(H_{\mathfrak M}\) und \(S_{\mathfrak M}\) die entsprechenden Halbgruppen der zu \({\mathfrak M}\) primen Algebren, so ist die Aufgabe der Arbeit die Bestimmung des Index \([H_{\mathfrak M} : S_{\mathfrak M}]\) für beliebige normale \(K/k\) und geeignet gewählte \({\mathfrak M}\).
Verf. beweisen: Bekanntlich lassen sich den Substitutionenpaaren \((\sigma, \tau)\) der Gruppe \(\varGamma\) von \(K/k\) Multiplikatoren \(A_{\sigma, \tau}\) aus \(K\) zuordnen, so daß das gekreuzte Produkt \((K/k, \varGamma, A_{\sigma, \tau})\) eine normale einfache Algebra über \(k\) ist. Werden speziell nur Multiplikatorenmengen \(B_{\sigma, \tau}\) der weiteren Eigenschaft betrachtet, daß die durch \(\mathfrak p\)-adische Erweiterung der letzten Algebra entstehende Algebra für jedes in \(K/k\) verzweigte Primideal \(\mathfrak p\) in \(k\) zum Körper \(k_{\mathfrak p}\) äquivalent ist, so ist für zu jedem \(B_{\sigma, \tau}\) primes \(\mathfrak M\) der Index \([H_{\mathfrak M} : S_{\mathfrak M}]\) gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen aller Ordnungen von Elementen aus \(\varGamma\). – Verf. betrachten dann noch den Fall, daß \(\mathfrak M\) nicht zu allen \(B_{\sigma, \tau})\) prim ist. Hier sind die Beweise nur angedeutet.

Reviewer: Holzer, L., Dr. (Graz)

MSC:

01A75

Collected or selected works; reprintings or translations of classics

JFM Section:

Erster Halbband. C. Arithmetik und Algebra. 6. Zahl- und Funktionenkörper. a) Zahlkörper.