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Zur Theorie der Moduln algebraischer Funktionenkörper. (German) JFM 66.0134.01

Die algebraischen Funktionenkörper \(K\) vom Geschlecht \(g\) über einem algebraisch abgeschlossenen Konstantenkörper \(k\) entsprechen umkehrbar eindeutig den Punkten einer irreduziblen algebraischen Modulmannigfaltigkeit \(M_g\) über \(k\), ausgenommen die Punkte einer Teilmannigfaltigkeit niedrigerer Dimension (vgl. v. d. Waerden, Zur algebraischen Geometrie. XI. Math. Ann., Berlin, 114 (1937), 683-699; F. d. M. \(63_{\text{I}}\), 612). Für genügend großes \(n\) gibt es zu jedem \(K\) vom Geschlecht \(g\) eine \(K\) definierende reguläre (d. h. nur gewöhnliche Knotenpunkte besitzende) Kurve \(n\)-ter Ordnung. Die regulären Kurven \(n\)-ter Ordnung vom Geschlecht \(g\) gehören einer irreduziblen Mannigfaltigkeit \(I_{n, g}\) an. Die Gleichungen von \(M_g\) und \(I_{n, g}\) haben absolut rationale (d. h. dem Primkörper angehörige) Koeffizienten. Es gibt eine algebraische Korrespondenz (deren Gleichungen ebenfalls absolut algebraische Koeffizienten haben) zwischen \(I_{n, g}\) und \(M_g\), die jeder Kurve \(\varGamma\) aus \(I_{n, g}\) einen Punkt \(P(\varGamma)\) von \(M_g\) eindeutig zuordnet. Die Koordinaten von \(P(\varGamma) = P(K)\) heißen die Moduln von \(K\). Verf. beweist folgenden Satz: \(K\) kann durch eine Kurve \(f(x, y) = \sum\limits_{\mu, \nu} c_{\mu \nu} x^\mu y^\nu = 0\) definiert werden, deren Gleichungskoeffizienten \(c_{\mu\nu}\) rationale Funktionen der Moduln mit absolut rationalen Koeffizienten sind. – Als Moduln eines Funktionenkörpers \(K_0\) mit einem Teilkörper \(k_0\) von \(k\) als Konstantenkörper werden die Moduln von \(K_0k/k\) bezeichnet. \(K_0/k_0\) und \(K_1/k_1\) heißen vom gleichen Typus, wenn \(K_0k/k\) und \(K_1k/k\) isomorph sind. Der obige Satz besagt, daß der kleinste Konstantenkörper, über dem ein Funktionenkörper von vorgegebenem Typus existiert, aus dem Primkörper durch Adjunktion der Moduln entsteht. – Zum Beweise wird der Begriff des allgemeinen Körpers vom Geschlecht \(g\) benötigt und der Hilfssatz, daß der allgemeine Körper vom Geschlecht \(g >2\) keine Automorphismen über \(k\) besitzt. Zum Beweis des Hilfssatzes ist es nur nötig, die Endlichkeit der Anzahl der Divisorenklassen vom Exponenten \(q\) (bel. vorgegeben) zu zeigen. Diese Tatsache der Endlichkeit folgt für Charakteristik 0 aus dem Abelschen Theorem und wird auf Körper der Charakteristik \(p\) durch ein Reduktionsverfahren übertragen.
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