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The Gaussian law of errors in the theory of additive number theoretic functions. (English) JFM 66.0172.02
Es sei \(f(m)\) für ganzes \(m\geqq 1\) eine additive zahlentheoretische Funktion (d. h. für \((m,n)=1\) ist \(f(mn)=f(m)+f(n)\)). Für jede Primzahl \(p\) werde \[ f(p^\alpha)=f(p), \quad |f(p)|\leqq 1 \tag{1} \] vorausgesetzt, und es sei \[ A_n =\sum_{p<n}\frac{f(p)}p, \quad B_n=\left(\sum_{p<n}\frac{f^2(p)}p\right)^{\frac 12}, \] wo \(p\) die Primzahlen \(< n\) durchläuft. Weiter sei \(\omega\) eine reelle Zahl und \(K_n\) die Anzahl derjenigen natürlichen Zahlen \(m\leqq n\), für die \(f(m)< A_n+\omega\sqrt 2\cdot B_n\) ist. Verf. beweisen: \[ \lim_{n\to \infty} \frac{K_n}n = \pi^{-\frac 12}\int\limits_{-\infty}^\omega e^{-u^2}\,du. \] Verf. behaupten noch (ohne Beweis), daß die erste der beiden Voraussetzungen (1) fortgelassen werden kann, und daß die zweite Voraussetzung (1) durch eine schwächere Voraussetzung ersetzt werden kann.

MSC:
11K65 Arithmetic functions in probabilistic number theory
11N60 Distribution functions associated with additive and positive multiplicative functions
Subjects:
Erster Halbband. C. Arithmetik und Algebra. 7. Zahlentheorie. l) Zahlentheoretische Funktionen.
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