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Additive set-functions in abstract spaces. (English) JFM 66.0218.01
Die Arbeit bringt das 1. Kapitel einer auf sechs Kapitel berechneten Abhandlung, außerdem eine ausführliche Einleitung und eine Inhaltsübersicht über die ganze Abhandlung. -In der Einleitung geht Verf. von der Tatsache aus, daß zu jedem (reellen) linearen Funktional \(L(f)\) über dem System \(C\) der in einer Teilmenge \(R\) des euklidischen \(n\)-dimensionalen Raumes erklärten stetigen Funktionen \(f(P)\) eine additive Mengenfunktion \(\mu(E)\) gehört, für welche \(L(f)=\int\limits_R f(P)\mu(dE)\). Es ist damit eine Beziehung gegeben zwischen additiven Mengenfunktionen, stetigen Funktionen und linearen Funktionalen. Auf der anderen Seite bringt die Maßtheorie die additiven Mengenfunktionen in Verbindung mit Eigenschaften des Raumes, in welchem sie definiert sind. Gegenstand der Abhandlung ist nun allgemein die Untersuchung solcher Beziehungen zwischen Räumen, linearen Systemen von Funktionen, linearen Funktionalen und additiven Mengenfunktionen. Grundsätzlich werden dabei folgende Einschränkungen gemacht: Die Funktionen sollen (reell und) beschränkt sein; für die Funktionale \(L\) soll gelten \(|L(f)|\leqq N\sup |f|\); die additiven Mengenfunktionen \(\mu(E)\) sollen beschränkt und regulär sein, d. h. zu jeder Menge \(E\) und jedem reellen \(\varepsilon > 0\) soll es eine offene Obermenge \(O\) von \(E\) geben mit \(|\mu(E)-\mu(0)|<\varepsilon\). Eines der wichtigsten Ziele der Abhandlung besteht in der Untersuchung der schwachen Konvergenz von Folgen additiver Mengenfunktionen; dabei heißen die \(\mu_\nu(E)\) schwach konvergent gegen \(\mu(E)\) mit \(\nu\to\infty\), wenn \(\lim\limits_{\nu\to\infty}\int\limits_R f(P)\mu_\nu(dE)= \int\limits_R f(P)\mu(dE)\) für alle stetigen \(f(P)\).
Das vorliegende 1. Kapitel enthält die Definition und Untersuchung der benutzten Raumbegriffe und ihrer Beziehungen zu Systemen stetiger (über solchen Räumen erklärter) Funktionen. Dabei wird eine Menge als Raum \(R\) bezeichnet, wenn in \(R\) ein System \(s\) von Teilmengen \(F\) ausgezeichnet ist, das folgenden Forderungen genügt: 1) Der Durchschnitt (höchstens) abzählbar vieler \(F\) ist wieder ein \(F\); 2) Die Vereinigung endlich vieler \(F\) ist ein \(F\); 3) die leere Menge sowie \(R\) selbst gehört zu \(s\). Die \(F\) werden als abgeschlossen, ihre Komplemente als offen bezeichnet; Umgebung einer Menge ist jede offene Obermenge. R wird speziell ein topologischer Raum im üblichen Sinne, wenn in Forderung 1) “abzählbar viele” ersetzt wird durch “beliebig viele”. -Es handelt sich jetzt um die Übertragung von für topologische Räume entwickelten Begriffen und Sätzen auf diese (allgemeineren) Räume \(R\). Jedem \(R\) ist ein topologischer Raum \(tR\) (topologische Verlängerung von \(R\)) zugeordnet; man erhält \(tR\) aus \(R\), wenn man die Definition der abgeschlossenen Mengen erweitert durch Hinzunahme aller Durchschnitte von abgeschlossenen Mengen im ursprünglich erklärten Sinne. Eine eindeutige Abbildung \(f(P)\) von \(R\) auf \(R'\) heiße stetig, wenn die Urbilder von abgeschlossenen Bildmengen wieder abgeschlossen sind. Ist \(R'\) die in üblicher Weise topologisierte reelle Zahlgerade, so heiße \(f(P)\) eine stetige Funktion (s. F.). Ein System \(S\) von s. F. heiße vollständig, wenn zu \(S\) gehören 1) jede Konstante; 2) mit \(f_1\) und \(f_2\) auch \(\text{Max}(f_1, f_2)\) und \(\text{Min} (f_1, f_2)\); 3) mit \(f_1\) und \(f_2\) auch Summe, Produkt und Quotient von \(f_1\) und \(f_2\); 4) mit \(f_\nu\) auch der gleichmäßige Limes der \(f_\nu\). Das System aller s. F. eines \(R\) ist vollständig. Umgekehrt ist jedes vollständige System \(S\) von s. F. mit dem Definitionsbereich \(D\) identisch mit dem System aller s. F. über demjenigen \(R\), welcher aus \(D\) erhalten wird durch Auszeichnung der Urbildmengen \(E(f(P)\geqq a)\) als abgeschlossen, wobei \(f\) beliebig aus \(S\) und \(a\) beliebig reell ist. – Es heiße \(R\) normal, wenn je zwei fremde abgeschlossene Mengen fremde offene Obermengen besitzen. Für normale \(R\) gilt der Erweiterungssatz, demzufolge jede auf einer abgeschlossenen Menge (beschränkte) s. F. zu einer in ganz \(R\) (beschränkten) s. F. erweitert werden kann. -Eine Menge \(M\) heiße total abgeschlossen (t. a.), wenn in \(R\) eine s. F. \(f(P)\) existiert und ein reelles \(a\) mit \(M = E(f(P) \geqq a\)). In normalen \(R\) sind unter den abgeschlossenen Mengen die t. a. identisch mit den \(G_\delta\), d. h. den Durchschnitten abzählbar vieler offener Mengen. – \(R\) heiße vollständig normal (v, n.), wenn jede abgeschlossene Menge zugleich t. a. ist. Es ist dann und nur dann \(R\) v. n., wenn \(R\) normal, und wenn jede abgeschlossene Menge ein \(G_\delta\) ist. Zeichnet man in einem Raume \(R\) nur die t. a. als abgeschlossen aus, so erhält man einen v. n. Raum \(R^*\). Jede stetige Abbildung von \(R\) auf \(R_1\) ist auch stetige Abbildung von \(R^*\) auf \(R^*_1\).
Weiter werden die \(T_1\)-Räume erklärt, d. h. Räume, in denen zu jedem von zwei Punkten eine zum andern fremde Umgebung existiert. Total regulär (t. r.) heißen demgemäß solche \(T_1\)-Räume, in weichen zu jeder abgeschlossenen Menge \(F\) und einem zu \(F\) fremden Punkt \(P\) eine s. F. in \(R\) existiert, die Null bzw. Eins ist in \(F\) bzw. \(P\). Die topologischen Verlängerungen von v. n. \(T_1\)-Räumen sind identisch mit den t. r. Räumen. – Bikompakt bzw. kompakt heißt ein \(R\), wenn jede bzw. jede abzählbare offene Überdeckung von \(R\) eine endliche Überdeckung enthält. – Unter einer Anordnung in \(R\) wird verstanden jedes System nicht leerer abgeschlossener Mengen derart, daß beliebige zwei dieser Mengen Obermengen einer Menge des Systems sind; die Anordnung heiße verschwindend, wenn der Durchschnitt aller in ihr enthaltenen Mengen leer ist. (Die Mengen einer Anordnung sind also durch die Beziehung des Enthaltenseins derart “geordnet”, daß zu zwei beliebigen von ihnen eine “ranghöhere” im System existiert.) Unter einer Anordnung in einem System \(\varPhi\) von Funktionen verstehe man ein Teilsystem \(T\) von Funktionen aus \(\varPhi\) derart, daß zu je zwei \(f_1\), \(f_2\) aus \(T\) eine \(f_{12}\) aus \(T\) gehört mit \(f_{12}\leqq \text{Min} (f_1,f_2)\). Man sagt, die Anordnung \(\mathfrak A\) konvergiere gegen die Funktion \(f(P)\), wenn zu jedem \(\varepsilon>0\) und jedem \(P\in R\) eine von \(\varepsilon\) und \(P\) abhängige Funktion \(h_{\varepsilon,P}\) aus \(T\) existiert mit \(|f(P) - h(P)|<\varepsilon\) für alle zu \(h_{\varepsilon,P}\) ranghöheren \(h\in\mathfrak A\); ist \(h_{\varepsilon,P}\) für alle \(P\) das gleiche, so spricht man von gleichmäßiger Konvergenz. Ein t. r. bikompakter Raum ist normal. Dann und nur dann, wenn keine verschwindende Anordnung in \(R\) existiert, ist R bikompakt. In einem bikompakten Raume konvergiert eine Anordnung stetiger Funktionen gleichmäßig, wenn sie gegen Null konvergiert. Ist \(R\) topologische Verlängerung eines v. n. Raumes, und konvergiert jede gegen Null konvergierende Anordnung stetiger Funktionen gleichmäßig, so ist \(R\) bikompakt. Im vorstehenden Satz kann man “bikompakt” durch “kompakt” ersetzen, wenn man an Stelle von “Anordnung” setzt “nicht fallende Funktionenfolge”. Weitere Sätze, deren Angabe zu weit führen würde, beziehen sich auf bikompakte Erweiterungen von Räumen, insbesondere von vollständig normalen Räumen, und deren topologische Verlängerungen.

MSC:
54-XX General topology
28-XX Measure and integration
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