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Sur les fonctions indéfiniment dérivables. (French) JFM 66.0245.01
Verf. führt seine in C. R. Acad. Sci. Paris 208 (1939), 1780-1783 (F. d. M. 65, 218 (JFM 65.0218.*)) mitgeteilten Untersuchungen aus, mit der leichten Abänderung, daß er die Betrachtungen auf das abgeschlossene Intervall \([\alpha,\beta ]\) bezieht.

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References:
[1] Voir la note au bas de la page 25.
[2] C. R. de l’Académie des Sciences de Paris (T. 208, 1939 p. 1780).
[3] J’ai démontré dans mon livreSéries de Fourier et classes quasi analytiques de fonctions (Paris 1935, p. 100) l’inégalité|a n |<n/S(n/A). L’inégalité (2) est démontrée dans mon livreClasses quasi analytiques de fonctions (en russe) (Leningrad, 1937, p. 69).
[4] D’ailleurs lorsqueM n =0, pourn assez grand,F(x) est un polynome et le théorème fondamental devient trivial. Nous pouvons donc supposer dans la suite, queM n >0, (nn=1,2,...).
[5] Ex désigne la partie entière dex.
[6] Les différentes étapes de (17) pronvent, d’après ce qui précède, que|F 1 (p) (x)|<Cp M p 1 , lorsquep>A. Mais en augmentant éventuellement la constanteC cette inégalité devient aussi valable pour 1.
[7] Voir mon livre cité plus hautSéries de Fourier et classes quasi analytiques de fonctions (p. 75). Ceci résulte d’ailleurs immédiatement des recberches de M. Ostrowski sur la quasi analyticité (Acta mathematica t. 53, 1930).
[8] Voir le livre de M. CarlemanLes fonctions quasi analytiques, (Paris 1926, p. 77).
[9] Sans Juan.C. R. du Congrès des Mathématiques d’Oslo (T. 2, 1936, p. 94).
[10] M. Denjoy a donné une condition suffisante; M. Carleman a donné une condition nécessaire et suffisante. Voir p. 61 du livre cité de M. Carleman. Pour la forme de cette condition mentionnée ici, voir mon livre cité p. 25, ainsi que le Mémoire de M. Ostrowski, cité à la même page.
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