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Über den Zusammenhang einiger Reihensätze. (German) JFM 66.0258.01
Es handelt sich um eine Gruppe von Sätzen, die notwendige und hinreichende Bedingungen für die \(C\)-Summierbarkeit von Reihen liefern. Zunächst um die beiden folgenden:
(1) Es ist \(C_1\)-\(\sum \alpha _n = s\) genau dann, wenn \(\sigma _n + (n+1)\,\Bigl(\dfrac {\alpha _{n+1}}{n+1}+\dfrac {\alpha _{n+2}}{n+2} +\cdots \Bigr)\to s\), (\(\sigma _n=\alpha _0+\cdots +\alpha _n\)). (Knopp, S.-B. Berliner math. Ges. 16 (1917), 45-50; F. d. M. 46, 321 (JFM 46.0321.*)).
(2). Es ist \(C_{p+1}\)-\(\sum (n+1)\,\varDelta a_n= s\) genau dann, wenn \(C_p\)-\(\sum (a_n -A)= s\) für ein passendes \(A\). (Hardy, Littlewood, Math. Z. 19 (1923), 67-96; F. d. M. 49, 232 (JFM 49.0232.*)).
Es wird bemerkt, daß (2) für \(p=0\) und (1) ineinander übergehen, wenn \(\dfrac {\alpha _{n+1}}{n+1}+\cdots =a_n\) gesetzt wird. – Beschränkt man sich weiterhin auf solche Reihen \(\sum a_n\), für die \(V\)-\(\lim a_n=0\) ist, wenn \(V\) ein mit \(C\) verträgliches Limitierungsverfahren bedeutet, so kann (2), da dann \(A=0\) sein muß, auch so formuliert werden:
(3) Es ist \(C_p\)-\(\sum a_n = s\) genau dann, wenn \(C_{p+1}\)-\(\lim \,[s_n-(n+1)\,a_{n+1}] = s\) ist. In dieser Form bedeutet der Satz eine Verschärfung und Verallgemeinerung eines Satzes von Ostrowski (Jber. Deutsche Math.-Verein. 34 (1926), 161-171; F. d. M. 51, 246 (JFM 51.0246.*)) und Meyer-König (Math. Z. 45 (1939), 751-755; F. d. M. 65, 231 (JFM 65.0231.*)).
Ein ähnlicher Zusammenhang wie zwischen (1) und (2) besteht auch zwischen den folgenden Verallgemeinerungen beider Sätze:
(\(1'\)). Es ist \(C_p\)-\(\sum \alpha _n = s\) genau dann, wenn \(C_{p-r}\)-\(\sum \varrho _n^{(r)} = s\) ist. Dabei bedeutet \( \varrho _n^{(0)} =\alpha _n\Bigl/\binom {n+r}{r}\) und \(\varrho _n^{(\lambda )}\) für \(1\leqq \lambda \leqq r\) die als existierend anzunehmenden Folgen \(\varrho _n^{(\lambda )}= C_{p-r}\)-\(\sum _{\nu =n}^\infty \varrho _\nu ^{(\lambda -1)}\). (Lyra, Math. Z. 45 (1939), 559-572 (F. d. M. 65, 231 (JFM 65.0231.*)), Satz I).
(\(2'\)) Es ist \(C_p\)-\(\sum a_n = s\) genau dann, wenn \(C_{p+r}\)-\(\sum _n \binom {n+r}{r}\,\varDelta ^r\,a_n=s\). (Andersen, Proc. Lond. math. Soc. 27 (1927), 44; F. d. M. 53, 192 (JFM 53.0192.*)). Es geht (\(1'\)) im wesentlichen in (\(2'\)) über, wenn in (\(1'\)) \(p\) durch \(p + r\) und \(\alpha _n\) durch \(\binom {n+r}{r}\,\varDelta ^r\,a_n\) ersetzt wird. Ebenso einfach geht (\(2'\)) auch aus dem folgenden Satz hervor:
(4) Es ist \(C_p\)-\(\sum \alpha _n = s\) genau dann, wenn die Reihe \(\sum b_n\) mit \[ b_n =\binom {n+\lambda }{\lambda } \cdot C_{p-\lambda }\text{-}\sum _{\nu =n}^\infty \alpha _\nu \Bigl/\binom {\nu +\lambda +1}{\lambda +1} \] für ein \(\lambda \leqq p\) \(C_{p-1}\)-summierbar ist zur Summe \(s\) (Lyra, a. a. O., Satz II).
Schließlich wird noch auf den Zusammenhang dieser Sätze mit noch unveröffentlichten Sätzen hingewiesen, die sich auf die Gleichung \( \sum _n \binom {n+r}{r}\,\varDelta ^r\,a_n=\sum _na_n\) beziehen.
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