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Über die Approximation stetiger Funktionen durch trigonometrische Polynome. (German) JFM 66.0276.01

1) Verf. gibt ein allgemeines Verfahren zur gleichmäßigen Approximation stetiger, mit \(2\pi\) periodischer Funktionen durch trigonometrische Polynome an, das die bekannten Verfahren von Fejér (Math. Ann., Leipzig, 58 (1903), 51-69; F. d. M. 34, 287 (JFM 34.0287.*)) und de la Vallée Poussin (Acad. Belgique, Bull. Cl. Sci. 1908, 193-254; F. d. M. 39, 329 (JFM 39.0329.*)) als Spezialfälle enthält: Eine Folge von nicht identisch verschwindenden trigonometrischen Polynomen \(P_n(x)\) (\(n = 1,\, 2,\, 3,\,\ldots\)) heiße “zulässig”, wenn \(P_n(x) \geqq 0\) für alle \(x\), und wenn außerdem jedem Paar (beliebig kleiner) positiver Zahlen \(\varepsilon\), \(\delta\) eine Zahl \(n_0\) zugeordnet werden kann derart, daß \[ \int\limits_\delta^{2\pi-\delta} P_n(t)\,dt< \varepsilon \int\limits_0^{2\pi} P_n(t)\,dt\quad \text{für}\quad n\geqq n_0 \] gilt. Ist \(f (x)\) eine stetige, mit \(2\pi\) periodische Funktion der reellen Variablen \(x\), und ist \(P_n(x)\) irgendeine zulässige Folge trigonometrischer Polynome, so stellt \[ Q_n(x) = \int\limits_0^{2\pi} f(t) P_n(t -x)\,dt:\;\int\limits_0^{2\pi} P_n(t)\, dt \qquad (n = 1,\, 2,\, 3,\,\ldots) \] eine Folge trigonometrischer Polynome von \(x\) dar, für die gleichmäßig in \(x\) \[ \lim_{n\to\infty} Q_n (x) = f(x) \] gilt. Wählt man speziell \(P_n(x) = \left(\cos\dfrac x2\right)^{2n}\) oder \(P_n (x) = \left(\dfrac{\sin\dfrac{nx}2}{\sin \dfrac x2}\right)^2\), so wird man auf das Verfahren von de la Vallée Poussin bzw. von Fejér geführt.
2) Ist \(P_n(x)\) eine zulässige Folge von Kosinuspolynomen \[ P_n(x) = \frac12 c_{n0} + \sum_{\nu=1}^N c_{n\nu} \cos\nu x\quad (n = 1,\, 2,\,3,\,\ldots), \] so läßt sich das geschilderte Verfahren zur Approximation einer stetigen Funktion \(f (x)\) als Summationsmethode für die Fouriersche Reihe \[ \frac12 a_0+ \sum_{\nu=1}^\infty (a_\nu \cos\nu x + b_\nu \sin\nu x) \] von \(f(x)\) deuten. Definiert man nämlich noch \(c_{n\nu} = 0\) für \(\nu> N\) und setzt dann \(\varphi_\nu(n) = \dfrac{c_{n\nu}}{c_{n0}}\) (\(\nu = 0,\, 1,\, 2,\,\ldots\)), so läuft das Verfahren darauf hinaus, daß man aus der Fourierreihe von \(f (x)\) die Funktion \[ \varPhi(n) = \frac12 a_0\varphi_0(n) + \sum_{\nu=1}^\infty (a_\nu \cos\nu x + b_\nu \sin\nu x) \varphi_\nu(n) \] bildet und dann \(\lim\limits_{n\to\infty} \varPhi (n) = f(x)\) hat. Den Funktionen \(\varphi_\nu(n)\) kommt daher die Bedeutung von summatorischen Folgen für Fouriersche Reihen zu. Wendet man die so erklärte Summationsmethode auf die Fourierreihe einer beliebigen beschränkten integrierbaren Funktion \(f(x)\) mit der Periode \(2\pi\) an, so erhält man \[ \lim_{n\to\infty}\varPhi(n) = \tfrac12 \lim_{t\to0} [f(x + t) + f(x-t)] \] für jedes \(x\), für das der rechts stehende Grenzwert existiert.
3) Das unter 1) geschilderte Approximationsverfahren läßt sich mühelos auf Funktionen von mehreren Veränderlichen übertragen.

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