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On the maxima and minima of Bernoulli polynomials. (English) JFM 66.0319.04
\(M_n\) und \(m_n\) mögen Maximum bzw. Minimum des \(n\)-ten Bernoullischen Polynoms \(B_n(x)\) für \(0\leqq x\leqq 1\) bedeuten. Dann gilt für gerades \(n\): \[ \begin{alignedat}{2}{5} &M_{4h} &&= B_{4h}(\tfrac{1}{2})=(1-2^{1-4h})|B_{4h}|&&; \quad m_{4h} &&=B_{4h}(0) &&=-|B_{4h}|, \\ &M_{4h+2} &&= B_{4h+2}(0)=B_{4h+2}&&; \quad m_{4h+2} &&=B_{4h+2}(\tfrac{1}{2}) &&=-(1-2^{-1-4h})B_{4h+2}, \end{alignedat} \] worin die \(B_\nu\) die Bernoullischen Zahlen in der üblichen Zählung \(\left(B_6 = \dfrac{1}{42}\right)\) bedeuten. Schwieriger ist die Bestimmung von \(M_n\) und \(m_n\) für ungerade \(n = 2k+1\); es ist jedenfalls \[ M_{2k+1} = -m_{2k+1}=|B_{2k+1}(r_{2k})|, \] worin \(r_{2k}\) die in \(\langle 0, \frac{1}{2}\rangle\) gelegene einfache Wurzel von \(B_{2k}\) bezeichnet. Setzt man \(\theta = 2\pi\left(\frac{1}{4} - r_{2k}\right)\), so gilt für \(\theta\) die Gleichung \[ \sin\,\theta = 2^{-2k}\cos\,2\theta + 3^{-2k}\sin\,3\theta 4^{-2k}\cos\,4\theta - 5^{-2k}\sin\,5\theta +\cdots, \] die sich zur schrittweisen Näherung und Abschätzung eignet. Verf. beweist damit \[ \tfrac{1}{4}-2^{-2k-1}\pi^{-1} <r_{2k}<\tfrac{1}{4}, \] und daraus folgt die Abschätzung \[ M_{2k+1} <2(2k+1)!\, (2\pi)^{-2k-1}. \] Eine Tabelle der exakten Werte von \(r_{2k}\) und \(M_{2k+1}\) für \(1\leqq k\leqq 6\) beschließt die Abhandlung.

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