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On the maxima and minima of Bernoulli polynomials. (English) JFM 66.0319.04
$M_n$ und $m_n$ mögen Maximum bzw. Minimum des $n$-ten Bernoullischen Polynoms $B_n(x)$ für $0\leqq x\leqq 1$ bedeuten. Dann gilt für gerades $n$: $$\alignat{5} &M_{4h} &&= B_{4h}(\tfrac{1}{2})=(1-2^{1-4h})|B_{4h}|&&; \quad m_{4h} &&=B_{4h}(0) &&=-|B_{4h}|, \\ &M_{4h+2} &&= B_{4h+2}(0)=B_{4h+2}&&; \quad m_{4h+2} &&=B_{4h+2}(\tfrac{1}{2}) &&=-(1-2^{-1-4h})B_{4h+2}, \endalignat $$ worin die $B_\nu$ die Bernoullischen Zahlen in der üblichen Zählung $\left(B_6 = \dfrac{1}{42}\right)$ bedeuten. Schwieriger ist die Bestimmung von $M_n$ und $m_n$ für ungerade $n = 2k+1$; es ist jedenfalls $$ M_{2k+1} = -m_{2k+1}=|B_{2k+1}(r_{2k})|, $$ worin $r_{2k}$ die in $\langle 0, \frac{1}{2}\rangle$ gelegene einfache Wurzel von $B_{2k}$ bezeichnet. Setzt man $\theta = 2\pi\left(\frac{1}{4} - r_{2k}\right)$, so gilt für $\theta$ die Gleichung $$ \sin\,\theta = 2^{-2k}\cos\,2\theta + 3^{-2k}\sin\,3\theta 4^{-2k}\cos\,4\theta - 5^{-2k}\sin\,5\theta +\cdots, $$ die sich zur schrittweisen Näherung und Abschätzung eignet. Verf. beweist damit $$ \tfrac{1}{4}-2^{-2k-1}\pi^{-1} <r_{2k}<\tfrac{1}{4}, $$ und daraus folgt die Abschätzung $$ M_{2k+1} <2(2k+1)!\, (2\pi)^{-2k-1}. $$ Eine Tabelle der exakten Werte von $r_{2k}$ und $M_{2k+1}$ für $1\leqq k\leqq 6$ beschließt die Abhandlung.
Reviewer: Geppert, H.; Prof. (Berlin)

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