×

zbMATH — the first resource for mathematics

The mean values of certain Dirichlet series. I, II. (English) JFM 66.0340.01
Die asymptotische Formel \[ \int\limits_{-T}^T |f(\sigma + it)|^2\, dt\sim 2T\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|^2l_n^{-2\sigma} \] für die Dirichletreihe \(f(s) = \sum_{n=1}^\infty a_nl_n^{-s}\) gelte für \(\sigma > \sigma_m\). Für 1) \(a_n = O\left(l_n^{h+\varepsilon}\right)\), 2) \(\log\,l_n-\log\,l_{n-1}>l_n^{-(l+\varepsilon)}\) hat F. Carlson (Ark. Mat. Astron. Fysik. A 19 (1926), Nr. 25; F. d. M. 52, 329 (JFM 52.0329.*)) die Ungleichung \(\sigma_m\leqq L \dfrac{L-\eta}{\lambda (\eta)}\) mit \(L = \frac{1}{2}(\overline{\sigma} + h + l)\) bewiesen; dabei ist \(\eta\) eine solche reelle Zahl, daß \(f(\eta +it)\) endlich ist, \(\overline{\sigma}\) ist die Abszisse absoluter Konvergenz, und \(\lambda(\eta)\) bedeutet die kleinste Zahl, so daß \[ \int\limits_{-T}^T|f(\eta +it)|^2\,dt = O(T^{\lambda(\eta)}) \] gilt. Verf. ersetzt die Bedingung 1) durch \(\sum\limits_{l_n\leqq x} |a_n|^2 = O(x^{k+\varepsilon})\) und findet mit \(L= \frac{1}{2}(k+l)\) dieselbe Abschätzung für \(\sigma_m\). Zum Beweis zeigt Verf. einige Hilfssätze unter Benutzung Landauscher Ergebnisse und Methoden.
Durch Anwendung auf Heckesche Dirichletreihen, die einer Funktionalgleichung \[ \left(\dfrac{2\pi}{\lambda}\right)^{-s}\varGamma(s)f(s) = \pm\left(\dfrac{2\pi}{\lambda}\right)^{-(k-s)}\varGamma(k - s)f(k - s) \] genügen, erhält man zwei Darstellungen für \(s > \dfrac{k}{2}\) und \(s < \dfrac{k}{2}\).
Der Fall \(\sigma = \dfrac{k}{2}\), der im zweiten Teil betrachtet wird unter Benutzung von Methoden von E. C. Titchmarsh (Proc. London math. Soc. (2) 27 (1927), 137-150; F. d. M. 53, 313 (JFM 53.0313.*)), ergibt für Dirichletreihen mit reellen Koeffizienten \[ \int\limits_0^T\left|f\left(\dfrac{k}{2}+it\right)\right|^2\,dt\sim 2kT\int\limits_1^x L(t)t^{-1}\,dt; \] dabei ist mit \(\sum\limits_{n<x}|a_n|^2\sim x^kL(x)\) die Funktion \(L(x)\) eine langsam wachsende Funktion (vgl. J. Karamata, Mathematica, Cluj, 4 (1930), 38-53; JFM 56.0907.*), über deren Eigenschaften zahlreiche Hilfssätze bewiesen werden. Es werden entsprechende Aussagen für zwei Dirichletreihen \(f_1(s), f_2(s)\) bewiesen, die durch eine Funktionalgleichung \(f_1(s) = H(s)f_2(k - s)\) verbunden sind; dabei ist \(H(s) = O\left(|t|^{c\left(\tfrac{k}{2}-\sigma\right)}\right)\) mit \(c>0\). Die Entwicklungskoeffizienten müssen nicht notwendig reell sein. Anwendungen auf \(\zeta\)- und \(L\)-Funktionen und gewisse Dirichletreihen, die Modulformen zugeordnet sind, bilden den Schluß.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI