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Univalent derivatives of entire functions. (English) JFM 66.0355.01

Es sei \(f(z)\) eine ganze Funktion und \(M (r) = \operatornamewithlimits{max}\limits_{|z|=r} f (z)\). Verf. beweist die Existenz einer Zahl \(T> 0\), für die der folgende Satz gilt: Erfüllt \(f (z)\) die Ungleichung \(\operatornamewithlimits{lim\,sup}\limits_{r\to\infty}\dfrac1r\log M (r) < T\), und ist \(f (z)\) kein Polynom, so sind unendlich viele Ableitungen von \(f(z)\) im Einheitskreis \(|z|\leqq1\) schlicht.
Der Beweis des Satzes stützt sich auf die von S. Takenaka herrührende Verschärfung eines Satzes von S. Pincherle (Proc. phys.-math. Soc. Japan (3) 13 (1931), 111-132; F. d. M. \(57_{\text{I}}\), 373). In Verbindung mit einem anderen Resultat des Verf. (Trans. Amer. math. Soc. 48 (1940), 467-487; F. d. M. 66, 344 (JFM 66.0344.*)) folgt, daß \(T = \log 2\) gewählt werden darf; es ist jedoch fraglich, ob dies der bestmögliche Wert für \(T\) ist.

Citations:

JFM 66.0344.*
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