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Bemerkungen über eine Dirichletsche Reihe, die mit der Theorie der Modulformen nahe verbunden ist. (German) JFM 66.0377.01

Verf. ordnet zwei Spitzenformen gleicher reeller Dimension \(- k\) der Modulgruppe, deren Fourierentwicklungen die Form \[ f(\tau)={\sum\limits_{n=1}^{\infty}}\alpha_ne^{2\pi in\tau},\; \varphi(\tau)={\sum\limits_{n=1}^{\infty}}\beta_ne^{2\pi in\tau} \] besitzen, die Dirichletreihe \[ \zeta_{f\;\varphi}(s)=\zeta(2s){\sum\limits_{n=1}^{\infty}} \frac{\alpha_n\overline{\beta}_n}{n^{k-1+S}} \] zu. Dann gilt wegen \[ {\iint\limits_{B}}f(\tau)\overline{\varphi(\tau)}y^{k-2+s}dx\,dy= {\iint\limits_{TB}}f(\tau)\overline{\varphi(\tau)}y^{k-2+s} \frac{dx\,dy}{|c\tau+d|^{2s}}\text{mit}\;T=\binom{a\;b}{c\;d} \] die Darstellung \[ (2\pi)^{-s}\varGamma(s+k-1)\zeta_{f,\varphi}(s)=\tfrac12(2\pi)^{k-1} {\iint\limits_{D}}f(\tau)\overline{\varphi(\tau)}y^{k-2+s}Z_\tau(s)dx\,dy, \] wo \(Z_\tau(s)\) die Epsteinsche Zetafunktion \(Z_\tau(s) ={\sum^\prime}\dfrac1{|m\tau+n\,{}^{2s}}\), \(D\) der Fundamentalbereich \(|\tau| > 1\), \(-\frac12<x<\frac12\) der Modulgruppe ist.
Es gilt die Funktionalgleichung \[ (2\pi^2)^{-s}\varGamma(s)\varGamma(s+k-1)\zeta_{f,\varphi}(s)= (2\pi^2)^{s-1}\varGamma(1-s)\varGamma(k-s)\zeta_{f,\varphi}(1-s), \] und \(\zeta_{f,\varphi}\) ist daher in die ganze Ebene analytisch fortsetzbar und regulär bis auf höchstens einen Pol der Ordnung 1 in \(s = 1\).
Aus \({\sum\limits_{n\leqq x}}\dfrac{\alpha_n\overline{\beta}_n}{n^{k-1}}= Ax+O\left(x^{\frac{3}{5}}\right)\) folgt für \({\sum\limits_{n\leqq x}}\alpha_n\) die Abschätzung \(O\left(x^{\frac k2-\frac1{10}}\right)\), (Vgl. hierzu die gleiche Abschätzung bei Rankin, s. vorstehendes Referat; zur Bildung des Doppelintegrals H. Petersson, Jber. Deutsche Math.-Verein. 49 (1939), 49-75; F. d. M. 65, 355 (JFM 65.0355.*)). Die Durchführung der Beweise erscheint später.

Citations:

JFM 65.0355.*
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