×

Zur Theorie der automorphen Funktionen von \(n\) Veränderlichen. (German) JFM 66.0379.01

(Fortsetzung der vorstehend besprochenen Arbeit.) Verf. erklärt eingangs in Analogie zum Falle \(n=1\) für komplexes \(r\) die mehrdeutigen Funktionen \(N(\gamma\tau+\delta)^r\) (\(\tau\in\mathfrak T\), \(\gamma^{(\nu)}\), \(\delta^{(\nu)}\) reell), die Begriffe Multiplikatorsystem \(v\) von der Dimension \(- r\) zur Gruppe \(\varGamma\) und automorphe Form \(\{\varGamma, - r, v\}\), sowie schließlich die Transformierte \(\varphi^A(\tau)\) einer solchen Form \(\varphi(\tau)\) mit Hilfe eines reellen unimodularen Matrizensystems \(A = \{A^{(\nu)}\}\). Es sei \(\tau=\infty\) parabolische Spitze von \(\varGamma\), \(\mathfrak t\) das zugehörige (von \(n\) Vektoren erzeugte) Translationsgitter. Durch die Bedingung: \(S(\alpha\mu)\) ganz für jedes \(\alpha\) aus \(\mathfrak t\) wird ein \(n\)-dimensionales Gitter \(\mathfrak m\) von Vektoren \(\mu\) definiert, das für jeden Multiplikator \(\lambda^2\) mit \(\mu\) stets \(\lambda^2\mu\) enthält (dieser Vektor ist durch Multiplikation der Komponenten gleicher Nummer zu bilden). Wenn der Vektor \(\varkappa\) durch \[ v(U^\alpha) =e^{2\pi iS(\varkappa\alpha)} \] bestimmt wird, so erweist sich danach und weil alle Komponenten von \(\lambda^2\) algebraische Einheiten von den Graden \(\leqq n\) sind, \(\varkappa\) als “rational”, d. h. es gibt eine kleinste natürliche Zahl \(p\) derart, daß \(p\varkappa\in\mathfrak m\). Nun ist \[ \psi(\tau)=e^{-2\pi iS(\varkappa\tau)}\varphi(\tau) \] periodisch mit dem Gitter \(\mathfrak t\) und gestattet bei geeigneten Voraussetzungen über die Singularitäten von \(\varphi(\tau)\) eine Entwicklung \[ \psi(\tau)={\sum\limits_{\mu\in\mathfrak m}}a_\mu e^{2\pi iS(\mu\tau)}. \] Analog gewinnt man durch Übergang \(\varphi(\tau)\to\varphi^A(\tau)\) die Entwicklung von \(\varphi(\tau)\) nach dem Ortsvariablensystem einer beliebigen Spitze von \(\varGamma\). Es zeigt sich wie im Falle \(n = 1\), daß es für ein System von einander nach \(\varGamma\) äquivalenten Spitzen im wesentlichen nur eine gemeinsame solche Entwicklung gibt; dabei sind \(\mathfrak m\) und \(\varkappa\) durch gewisse entsprechend erklärte Begriffe \(\mathfrak m_A\) und \(\varkappa_A\) zu ersetzen. Ferner gestattet diese Entwicklung die sinngemäße Festsetzung des Begriffs der Regularität einer Form \(\varphi(\tau)\) in einer Spitze von \(\varGamma\) und damit der Begriffe ganze Form und ganze Spitzenform \(\{\varGamma, - r, v\}\).
Im Anschluß an den Fall \(n=1\) führt Verf. sodann die Poincaréschen Reihen \(G_{-r}(\tau, v, A, \varGamma,\mu+\varkappa_A)\) ein, für welche die vollständige formale Theorie aufgestellt und die bei \(r > 2\) stattfindende absolute Konvergenz bewiesen wird. Die genannten Reihen verhalten sich auch als automorphe Formen analog wie für \(n=1\); die Durchführung hat jedoch auf die bei \(n = 1\) noch nicht auftretende Existenz hyperbolischer Substitutionen mit einem Fixpunkt in einer parabolischen Spitze (die in dem Automorphismus \(\lambda^2\mathfrak m=\mathfrak m\) ihr Spiegelbild hat) Rücksicht zu nehmen.
Im folgenden wird über die Gruppe \(\varGamma\) eine Voraussetzung gemacht, die man annähernd so formulieren kann: \(\varGamma\) besitze endlich viele inäquivalente parabolische Spitzen. Ordnet man jeder Spitze ein gewisses in ihrer Nähe liegendes Stück des Fundamentalbereichs der zugehörigen transformierten affinen Gruppe zu, so sei es möglich, alle Stücke durch einen samt seinem Rand im Innern von \(\mathfrak T\) liegenden Bereich zu einem Fundamental bereich von \(\varGamma\) zu ergänzen. (Diese Hypothese ist für die Hilbertsche Modulgruppe beweisbar.)
Sind \(n + 2\) ganze automorphe Formen \(\{\varGamma, - r_j, 1\}\) (\(1\leqq j\leqq n + 2\)) vorgelegt, so besteht zwischen ihnen eine isobare algebraische Gleichung eines gewissen Gewichts. Dies ergibt sich aus der Tatsache, daß eine solche Form identisch verschwinden muß, wenn ihre Entwicklungskoeffizienten \(a_\mu\) bezüglich des Ortsvariablensystems irgendeiner Spitze von \(\varGamma\) sämtlich verschwinden, sobald bei hinreichend hohem \(C{:}\;N (\mu)\leqq C\) zutrifft. Die genannte algebraische Gleichung läßt sich daher durch den Vergleich endlich vieler solcher Entwicklungskoeffizienten verifizieren.
Als grundlegendes Ergebnis der Arbeit hat man den folgenden Struktursatz anzusehen: Der Körper \(\mathfrak K\) derjenigen automorphen Funktionen, die sich als Quotienten von ganzen automorphen Formen darstellen lassen, hat den Transzendenzgrad \(n\) über dem Körper \(\mathfrak C\) der komplexen Zahlen. Es ist also \(\mathfrak K\) eine endliche algebraische Erweiterung des Körpers \(\mathfrak C(f_1,f_2,\dots, f_n)\) mit geeigneten über \(\mathfrak C\) algebraisch unabhängigen \(f_1\), \(f_2\),…, \(f_n\) aus \(\mathfrak K\); es gibt daher ein Element \(f_{n+1}\) aus \(\mathfrak K\), das \(\mathfrak K\) mit den \(f_1\), \(f_2\),…, \(f_n\) zusammen rational erzeugt. Beim Beweise ergeben sich die \(f_j\)(\(1\leqq j\leqq n\)) als Potenzprodukte vom Gewicht Null in Eisensteinreihen \(\{\varGamma, - r, 1\}\). Die Beweise bedienen sich Siegelscher Gedankengänge (Math. Ann., Berlin, 116 (1939), 617-657; F. d. M. 65, 357 (JFM 65.0357.*)).
Zum Schluß der Arbeit wird in Analogie zum Falle \(n = 1\) die Metrisierung der automorphen Formen erklärt und auf die Poincaréschen Reihen angewendet.

Citations:

JFM 65.0357.*
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI EuDML

References:

[1] H. Maa?, ?ber Gruppen von hyperabelschen Transformationen, Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften, math.-naturwiss. Klasse (1940), 2. Abhandlung, im folgenden zitiert mitM.
[2] O. Blumenthal, ?ber Modulfunktionen von mehreren Ver?nderlichen. Erste Halfte: Math. Annalen56 (1903), S. 509-548; zweite H?lfte: ebenda58 (1904), S. 497-527. · doi:10.1007/BF01444306
[3] C. L. Siegel, Einf?hrung in die Theorie der Modulfunktionenn-ten Grades, Math. Annalen116 (1939), S. 617-657, im folgenden zitiert mit S. · Zbl 0021.20302 · doi:10.1007/BF01597381
[4] H. Petersson, Theorie der automorphen Formen beliebiger reeller Dimension und ihre Darstellung durch eine neue Art Poincar?scher Reihen, Math. Annalen103 (1930), S. 369-436, im folgenden zitiert mit P. · doi:10.1007/BF01455702
[5] H. Petersson, ?ber eine Metrisierung der ganzen Modulformen, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung49 (1939), S. 49-75. · Zbl 0021.02502
[6] H. Petersson, Die linearen Relationen zwischen den ganzen Poincar?schen Reihen von reeller Dimension zur Modulgruppe, Abhandlungen aus dem Math. Seminar der Hansischen Univ.12, (1938), S. 415-472. · Zbl 0019.34403 · doi:10.1007/BF02948955
[7] H. Petersson Zur analytischen Theorie der Grenzkreisgruppen. Teil I bis IV: Math. Annalen115 (1938), S. 23-67, 175-204, 518-572, 670-709; Teil V: Math. Zeitschr.44 (1939), S. 127-155, im folgenden zitiert mit P. I bis V. · Zbl 0017.30603 · doi:10.1007/BF01448925
[8] H. Petersson, ?ber die Entwicklungskoeffizienten der automorphen Formen, Acta mathematica58 (1932), S. 169-215. · Zbl 0003.35002 · doi:10.1007/BF02547776
[9] H. D. Kloosterman, Theorie der Eisensteinschen Reihen von mehreren Ver?nderlichen, Abhandlungen aus dem Math. Seminar der Hansischen Univ.6 (1928), S. 163-188. · doi:10.1007/BF02940608
[10] H. Maa?, Konstruktion ganzer Modulformen halbzahliger Dimension mit ?-Multiplikatoren in zwei Variablen, Math. Zeitschr.43 (1938), S. 709-738. · Zbl 0018.35801 · doi:10.1007/BF01181114
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.