×

zbMATH — the first resource for mathematics

Sur les matrices holomorphes de \(n\) variables complexes. (French) JFM 66.0385.03
Verf. beginnt mit der vorliegenden Arbeit das Studium von Idealen endlicher Basis von in einem Bereiche \(\varDelta\) des Raumes der \(z_1\),…, \(z_n\) regulären Funktionen und kündigt darüber weitere Untersuchungen an. Unter der Mannigfaltigkeit des Ideals wird die Gesamtheit der gemeinsamen Nullstellen aller Funktionen des Ideals verstanden. Der Weierstraßsche Produktsatz lehrt uns, daß in den Bereichen der \(z\)-Ebene alle Ideale Hauptideale sind, und die Tatsache, daß die Nullstellen einer Funktion \(f (z_1,\dots, z_n)\), \(n> 1\), nie isoliert liegen, daß es in den Bereichen des Raumes der \(z_1\),…, \(z_n\), \(n > 1\), stets Ideale gibt, die kein Hauptideal sind.
Die fundamentale Frage, die Verf. nun im Raume von \(n\) komplexen Veränderlichen aufwirft, lautet: Wann kann man für ein Ideal \(I'\) des Bereiches \(\varDelta'\) und ein Ideal \(I''\) des Bereiches \(\varDelta''\), wo \(\varDelta'\) und \(\varDelta''\) den Bereich \(\varDelta\) gemein haben, eine und dieselbe Basis finden? Für Hauptideale ist die Behandlung dieser Frage genau das Kernstück aus dem Beweise zur zweiten Cousinschen Aussage. (Konstruktion einer in einem Bereiche überall regulären Funktion, für welche die Nullmannigfaltigkeiten lokal vorgeschrieben sind). Entsprechend würde die erschöpfende Antwort für Ideale mit \(p\) Basiselementen die Möglichkeit bieten, eine gemeinsame Basis für lokal gegebene Ideale, die den Verträglichkeitsbedingungen genügen, im großen zu finden.
Verf. beweist nun für Zylinderbereiche \(\varDelta'\), \(\varDelta''\) mit spezieller Lage zueinander, daß notwendig und hinreichend für eine gemeinsame Basis ist, daß \(I'\) und \(I''\) in \(\varDelta\) das gleiche Ideal erzeugen. (Ein Ideal \(I'\) in \(\varDelta'\) erzeugt im Teilbereich \(\varDelta\) ein Ideal \(I\), das im allgemeinen Falle \(\neq I'\) ist !)
Zum Beweise dieses Satzes werden quadratische Matrizen von in einem Bereiche des \(z_1\),…, \(z_n\)-Raumes regulären Funktionen eingeführt. Als Hauptsatz I wird bewiesen, daß jede solche in \(\varDelta\) reguläre und inversible Matrix \(A\) sich in der Form \[ A= A^{\prime-1}A'' \] darstellen läßt. \(A'\) und \(A''\) sind in \(\varDelta'\) bzw. \(\varDelta''\) reguläre Matrizen (wobei \(\varDelta\), \(\varDelta'\), \(\varDelta''\) die obigen Bedeutungen haben). Spezialfall hiervon für \(p = 1\) und \(n = 1\) ist der bekannte Satz: Für die in \(\varDelta\) reguläre und nicht-verschwindende Funktion \(f (z)\) gilt \[ f(z)=\frac{f_1(z)}{f_2(z)},\quad f_1(z)\text{ in }\varDelta',\;f_2(z)\text{ in }\varDelta''\text{ regulär}. \]

PDF BibTeX XML Cite