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Nuovi metodi risolutivi per i problemi d’integrazione delle equazioni lineari a derivate parziali e nuova applicazione della trasformata multipla di Laplace nel caso delle equazioni a coefficienti costanti. (Italian) JFM 66.0429.01
Die neue Methode, die Verf. für die Behandlung gewisser Randwertaufgaben für die Differentialgleichung \[ E[u]\equiv \kern-5pt\textstyle \sum\limits_{k_1+\dots +k_r\leqq n}\kern-3pt a_{k_1,\,\dots, k_r}\,(x_1,\dots, x_r)\,\dfrac{\partial ^{k_1+\dots +k_r}u}{\partial x_1^{k_1}\cdots\partial x_r^{k_r}}=f(x_1,\dots,x_r) \] vorschlägt, ist hauptsächlich auf die Annahme gestützt, daß man ein Funktionensystem \[ v_1(x_1,\dots,x_r),\quad v_2(x_1,\dots,x_r),\dots \] derart bestimmen kann, daß die entsprechenden Funktionen \[ \varphi _s(x_1,\dots,x_r)=E^{\ast}[v_s(x_1,\dots ,x_r)],\qquad(s=1, 2,\dots ) \] wo \(E\)* den adjungierten Differentialausdruck von \(E\) bezeichnet, ein abgeschlossenes Funktionensystem im Grundgebiet \(D\) des Problems bilden.
Sind die Koeffizienten \(a_{k_1,\dots,\,k_r}\) der Gleichung konstant, so kann man sich besser der verallgemeinerten Laplace-Transformation \[ u^{\ast}(\xi _1,\dots,\xi _r)=\textstyle \int\limits_{D}e^{-\xi _1x_1-\dots -\xi _rx_r}\,u(x_1,\dots,x_r)\,dx_1\dots dx_r \] bedienen, die die Gleichung offensichtlich algebraisiert.
Ferner fragt sich Verf., ob eine gewisse Teilbarkeitsbedingung, die sich als notwendig für die Lösbarkeit einer der betrachteten Randwertaufgaben erwiesen hat, auch hinreichend ist. Numerische Ergebnisse lassen in manchen bisher betrachteten Sonderfällen diese Frage bejahen.

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