The method of orthogonal projection in potential theory. (English) JFM 66.0444.01

Weyl, H.

Duke math. J. 7, 411-444 (1940).

\(G\) sei irgendein Gebiet des \(E_{3}\), \(\mathfrak F_0\) der Hilbertraum der Funktionentripel \(f_1\), \(f_2\), \(f_3\) (\(f_i\) in \(G\) definierte Funktionen) mit der Norm \(||\,f\,||=\int f_1^2+f_2^2+f_3^2\). \(f_1\), \(f_2\), \(f_3\) werden aufgefaßt als Komponenten eines Vektorfeldes \(f\). Ein Vektor \(v\) gehört zur Klasse \(\varGamma \), wenn er mit seinen ersten Ableitungen stetig ist und in der Umgebung des Randes verschwindet. Entsprechendes gilt von einer einzelnen Funktion \(\psi \). Ein Vektor \(f\) heißt wirbelfrei, wenn \(\int(f\cdot \;\text{rot}\,v)=0\), und quellenfrei, wenn \(\int(f\cdot \;\text{grad}\,\psi )=0\) für alle Vektoren \(v\) bzw. Funktionen \(\psi \) aus \(\varGamma \) ist. Hat \(f\) stetige Ableitungen, so kommt dies auf die gewöhnliche Definition hinaus. Die Räume der wirbel- bzw. quellenfreien bzw. beide Eigenschaften vereinigenden Vektoren bilden vollständige Unterräume \(\mathfrak F\), \(\mathfrak F'\), \(\mathfrak E\) von \(\mathfrak F_0\). Die abgeschlossenen Hüllen der Räume von Vektoren, die in der Form grad \(\psi \) bzw. \(\text{rot}\,v(\psi,v\in \varGamma )\) darstellbar sind, seien \(\mathfrak G\) bzw. \(\mathfrak G'\). Dann gelten folgende Aufspaltungsbeziehungen: \[ \mathfrak F=\mathfrak G+\mathfrak E,\;\;\mathfrak F'=\mathfrak G'+\mathfrak E,\;\;\mathfrak F_0=\mathfrak G'+\mathfrak F,\;\;\mathfrak F_0=\mathfrak G+\mathfrak F'; \] alle Komponentenpaare sind paarweise orthogonal. Die Vektoren \(f\) aus \(\mathfrak E\) besitzen Ableitungen beliebig hoher Ordnung und genügen den Gleichungen div \(f = 0\), \(\text{rot}\, f = 0\). Ihre Komponenten sind also harmonisch. Durch die Aufspaltung \(\mathfrak F=\mathfrak G+\mathfrak E\) wird also z. B. das erste Randwertproblem insofern gelöst, als sich ein beliebiger Vektor \(f\) aus \(\mathfrak F\) als Summe eines in der Umgebung des Randes verschwindenden Vektors \(g\) und eines Vektors \(e\) mit harmonischen Komponenten darstellen läßt. In ähnlicher Weise lassen sich die anderen Aufspaltungen und ähnliche hier nicht genannte deuten. Weiterhin wird noch das Periodenproblem behandelt, d. h. es wird z. B. gezeigt, daß in der ersten Aufspaltung \(f = g + e\) bei stetigem \(f\) die Zirkulationen von \(f\) und \(e\) längs geschlossener Wege übereinstimmen. Hierbei kommen naturgemäß topologische Betrachtungen ins Spiel. Die Schwierigkeit dabei und auch bei den Betrachtungen auf dem Rande liegt in dem Umstande, daß z. B. \(g\) nur Grenzfunktion von Funktionen aus \(\varGamma \) ist. Am Schlusse wird noch kurz auf den 2-dimensionalen und \(n\)-dimensionalen \((n>3)\) Fall eingegangen.

Reviewer: Tautz, G., Prof. (Breslau)

JFM Section:

Erster Halbband. D. Analysis. 12. Differentialgleichungen der mathematischen Physik und Potentialtheorie. a) Randwertaufgaben der Potentialtheorie.