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Sul problema generalizzato di Dirichlet per l’equazione di Poisson. (Italian) JFM 66.0444.02

Die Arbeit ist die Verallgemeinerung einer früheren Arbeit des Verf. (Rend. Circ. mat. Palermo 61 (1938), 177-221; JFM 64.1163.*) auf beliebig hohe Dimension bei der Gleichung \(\varDelta u=f\). Die Voraussetzungen bezüglich des Randes sind allgemeiner als im früheren Falle. So darf z. B. der Grundbereich \(A\) aus dem Inneren einer Kugel mit Ausnahme einer Kreisscheibe bestehen. Auf genaue Angabe der Bedingungen muß verzichtet werden. Der Grundbereich wird nicht durch kontinuierlich, sondern abzählbar unendlich viele Bereiche von innen approximiert, welche zur Formulierung der Randbedingungen in ganz entsprechender Weise wie im früheren Falle benutzt werden. Die Methode zum Nachweis einer Lösung ist grundsätzlich die gleiche wie früher. Doch ergeben sich folgende Besonderheiten. Die Funktion \(|\,f\,|\) ist mit ihrer \(q\)-ten Potenz integrabel. Allgemein sei \(q\geqq 1\). Ist \(n\) die Dimension, so ist für die Gültigkeit der Mittelwertformel bereits hinreichend \(q>\dfrac{n}{2}\). Soll jedoch die Gleichung \(\varDelta u=f\) erfüllt sein, so muß \(q> n\) sein. Davon unabhängig ist jedoch die Einzigkeit der Lösung, die unter gewissen zusätzlichen Bedingungen sogar von der Wahl der approximierenden Gebiete unabhängig ist. Für die Gültigkeit des Existenzsatzes sind gewisse weitere Bedingungen über den Rand von \(A\) erforderlich, die ebenfalls hier nicht aufgeführt werden können. Am Schluß werden einige Beispiele behandelt, so der Fall eines Bereiches, der von endlich vielen geschlossenen Flächen, die mit stetigen Hauptkrümmungen versehen sind, berandet wird. Auch auf nicht endliche Bereiche läßt sich das Verfahren leicht ausdehnen, z. B. für den Fall, daß der gesamte Rand nur aus einer Scheibe besteht.

Citations:

JFM 64.1163.*
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Full Text: EuDML