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Ensembles exceptionnels. (Swedish) JFM 66.0449.01
Verf. nennt “ensemble exceptionnel” \(E_{f}\) einer summierbaren Funktion \(f(x)\) die Menge der \(x\), für die die symmetrische Ableitung des Integrals von \(f(x)\) \[ \lim_{h\to 0}\frac{1}{2h}\kern-3pt \int\limits_{x-h}^{x+h}\kern-5pt f(x)\,dx \] nicht existiert oder endlich ist. Nach dem Satz von Lebesgue besitzt \(E_{f}\) das lineare Maß Null, darüber hinaus weiß man im allgemeinen Falle nichts. Durch Spezialisierung der Funktionenklasse \(f(x)\) können aber weitere interessante metrische Eigenschaften der Menge \(E_{f}\) abgeleitet werden. Verf. untersucht die Klasse der quadratisch summierbaren Funktionen \(f(\theta )\) mit der Periode \(2\pi \), für die das Integral \[ S(f)=\frac{1}{2\pi ^2}\int\limits_{0}^{\infty }\int\limits_{0}^{2\pi }\frac{|\,f(\theta +t)-f(\theta -t)\,|^2}{t^2}\,dt\,d\theta \] endlich ist, und zeigt, daß in diesem Falle \(E_{f}\) identisch ist mit der Menge, auf der die Fouriersche Reihe von \(f(\theta )\) divergent ist, und daß diese Menge, auf dem Einheitskreis betrachtet, von der äußeren Kapazität Null ist. Ein wichtiges Hilfsmittel beim Beweis dieses Satzes ist die folgende Tatsache: Sei \(u(r, \theta )\) das logarithmische Potential einer Belegung \(\mu \) von der Gesamtmasse eins auf dem Rande des Einheitskreises, dann ist \(S(u)\) gleich der doppelten potentiellen Energie von \(\mu \) und ist folglich immer beschränkt, wenn das Potential beschränkt ist. Verf. macht interessante funktionentheoretische Anwendungen seiner Resultate. Er beweist unter anderem die folgende Verallgemeinerung des Satzes von Fatou: Sei \(f(z)\) eine meromorphe Funktion im Einheitskreis, die eine Abbildung dieses Kreises auf eine Riemannsche Fläche von endlichem sphärischem Inhalt vermittelt, dann existiert der radiale Grenzwert \(\displaystyle \lim_{r\to 1}f(re^{i\theta })\) überall auf dem Rande des Kreises höchstens mit Ausnahme einer Menge der äußeren Kapazität Null.

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References:
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[4] Séries trigonométriques et séries de Taylor. Acta math., t. 30, (1906).
[5] La démonstration va paraître dansArkiv för Matematik, ...
[6] Cf. Polya etSzegö,Über den transfiniten Durchmesser,Journ. de Crelle t. 165 (1931) p. 43, etFrostman l. c., p. 90.
[7] Cf. l. c., l’exemple donné à la page 39.
[8] Cf. l. c..
[9] Über die Randwerte analytischer Funktionen. C. R. du 4ème Congr. scand. Stockholm, (1916).
[10] Über eine Klasse von meromorphen Funktionen. Math. Ann. 92, (1924). · JFM 50.0222.02
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