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Ein potentialtheoretischer Hilfssatz. (German) JFM 66.0449.02

Beweis des folgenden Satzes: Auf dem Rande des Einheitskreises der \(r\), \(\vartheta \)-Ebene sei eine absolut integrierbare Funktion \(g(\vartheta )\) gegeben, die für alle \(\vartheta \) des Intervalls \(\vartheta _1\leqq \vartheta\leqq \vartheta _2\) der Bedingung genügt: \[ |\,g(\vartheta +h)-g(\vartheta )\,|\leqq C|\,h\,|^\lambda \qquad (0<\lambda <1;|\,h\,|\leqq h_0<\tfrac{1}{2}(\vartheta _2-\vartheta _1)<\pi ). \] Dann gilt für die im Innern des Bereichs \(r\geqq 1\) reguläre Potentialfunktion \[ u(r,\vartheta )=\frac{1}{2\pi }\kern-2pt\int\limits_{-\pi }^{\pi }g(t)\frac{r^2-1}{r^2-2r\,\cos\, (t-\vartheta )+1}\,dt \] im Bereich \(\vartheta _1+h_0\leqq \vartheta \leqq \vartheta _2-h_0\), \(r\geqq 1\) eine Ungleichung der Form \[ |\,u(r, \vartheta +h)-u(r, \vartheta )\,|\leqq C'|\,h\,|^\lambda ; \] ebenso für die konjugierte Potentialfunktion.
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