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Sinus du \(n\)-ième ordre et calcul symbolique. (French) JFM 66.0509.02

Ann. Soc. Sci. Bruxelles (1) 60, 15-30 (1940).
Wenn \[ f (p) = p\int\limits_0^\infty e^{-px}F(x)\, dx\qquad \text{(Laplace-Integral)} \] ist, so heißt \(f (p)\) das symbolische Bild von \(F (x): F (x) \doteqdot f(p)\). Da bekanntlich \[ \sin x \doteqdot \frac p{p^2+1},\quad \cos x \doteqdot \frac{p^2}{p^2+1} \] ist, so liegt es nahe, Sinus höherer Ordnung zu definieren durch \[ f_j(x) \doteqdot \frac{p^j}{p^n+1}\quad (1\leqq j\leqq n). \] Ihre explizite Darstellung sieht so aus: Es seien \(\alpha_i\) die \(n\)-ten Wurzeln von \(- 1\). Dann ist \[ f_j(x)=-\frac1n\sum_{i=1}^n \alpha_i^j e^{\alpha_i x}. \] Diese Funktionen weisen zahlreiche Analogien zum gewöhnlichen Sinus auf. So ist \[ f_j(x+y)=\sum_{s=1}^n f_s(x) f_{n+j-s}(y); \] der Formel \(\sin^2 x+ \cos^2x= 1\) entspricht eine Determinantenrelation; die Reihenentwicklung lautet: \[ f_j(x)= \frac{x^{n-j}}{(n-j)!} -\frac{x^{2n-j}}{(2n-j)!} +-\cdots. \]