On extreme points of regular convex sets. (English) JFM 66.0533.01

Krein, M.; Milman, D.

Studia math., Léopol, 9, 133-138 (1940).

\(E\) sei ein Banachraum, \(\overline{E}\) der konjugierte Raum. Eine Menge \(K \subset \overline{E}\) heißt regulär konvex, wenn zu jedem \(f_0 \in \overline E\), das nicht in \(K\) liegt, ein \(x_0 \in E\) existiert, so daß \(\sup\limits_{f \in K} f(x_0) < f_0(x_0)\) ist. Jede regulär konvexe Menge ist konvex. Ein Punkt von \(K\) heißt Randpunkt, wenn er nicht innerer Punkt eines \(K\) angehörenden Segmentes ist. Es wird folgender Satz bewiesen: \(K \subset \overline E\) sei eine beschränkte regulär konvexe Menge. Dann ist die Menge \(S\) der Randpunkte von \(K\) nicht leer, und die regulär konvexe Hülle von \(S\) ist \(K\). Eine Folgerung ist: Hat die Einheitskugel eines unendlich dimensionalen Banachraumes \(E\) nur eine endliche Zahl von Randpunkten, so ist \(E\) zu keinem Banachraum konjugiert. Es werden zwei Beispiele allgemeiner Art von solchen Räumen angegeben.

Reviewer: Köthe, G., Prof. (Gießen)

JFM Section:

Erster Halbband. D. Analysis. 16. Funktionalanalysis. b) Banachräume.