×

zbMATH — the first resource for mathematics

The law of large numbers for continuous stochastic processes. (English) JFM 66.0621.01
\(\{f_m(x)\}\) sei eine Folge meßbarer Funktionen (\(m=1\), 2, …), \(E_1\), …, \(E_n\) seien Borelmengen; \(h\geqq 0\) und \(0\leqq\alpha_1< \cdots < \alpha_n\) seien ganze Zahlen; \(W_h\) sei durch \(f_{a_{j +h}}(x)\in E_j\) (\(j = 1\), 2, …, \(n\)) definiert, und es sei eine nichtnegative Maßfunktion \(M(W)\) definiert. Wenn \(M(W_h)\) nicht von \(h\) abhängt, wird gesagt, die Folge \(\{f_m(z)\}\) habe die Eigenschaft \(H\). – Analog wird bei einer einparametrigen Funktionenschar \(f_t(x)\) (\(0\leqq t < \infty\)) vorgegangen, nur brauchen hier \(h\), \(\alpha_1\), …, \(\alpha_n\) nicht ganze Zahlen zu sein; auch negative Werte von \(t\) können zugelassen werden.
Theorem I, welches das Birkhoffsche Ergodentheorem enthält: \(\{f_m(x)\}\) habe die Eigenschaft \(H\), \(f_0(x)\) sei integrabel. Dann existiert fast überall \(\lim\limits_{N\to \infty} \dfrac 1N \sum\limits_1^N f_m(x)\).
Theorem II stellt ähnlich für eine Schar \(f(t,x)\) die Existenz von \(\lim\limits_{T\to \infty} \frac 1T\int\limits_0^Tf(t,x)\,dt\) fest.
Theorem III: Für die stochastischen Veränderlichen \(\{x_t\}\) eines meßbaren zeitlich homogenen Prozesses existiert mit der Wahrscheinlichkeit 1 der \(\lim\limits_{T\to \infty} \frac 1T \int\limits_0^Tx_t\,dt\), wenn \(\mathfrak E(x_0)\) existiert.
Weiterhin werden stochastische Differentialprozesse betrachtet, für deren stochastische Veränderliche \(\{x_t\}\) gilt: Für beliebige \(t_1<t_2<\cdots<t_\nu\) sind \(x_{t_2}-x_{t_1}\), …, \(x_{t_\nu}-x_{t_{\nu-1}}\) unabhängige stochastische Veränderliche. Von den im ganzen 11 Theoremen sei hier als Beispiel nur noch
Theorem V angeführt: \(\{x_t\}\) gehöre zu einem Differentialprozeß, \(\mathfrak E(x_t-x_0)=e(t)\) existiere für genügend große Werte von \(t\) und \(-t\). Dann existiert \(e(t)\) für alle Werte von \(t\), und der Prozeß mit den stochastischen Veränderlichen \(y_t=x_t-x_0-e(t)\) ist zentriert.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI