Comparaison des diverses mesures de la dispersion. (French) JFM 66.0631.02

Fréchet, M.

Rev. Inst. internat. Statist., La Haye, 8, 1-12 (1940).

Verf. untersucht die Beziehungen zwischen den folgenden Streuungsmaßen: \[ \varTheta_X = E |X-p|, \qquad \sigma_X = \sqrt{E(X-EX)^2},\qquad E_X=\dfrac{q_1-q}{2}, \] wo \(EZ\) den Erwartungswert von \(Z\) bezeichnet, \(p\) ein Wert ist, der den Bedingungen \[ F(x) \leqq \tfrac12 \quad \text{ für }\quad x<p, \quad F(x) \geqq \tfrac12 \quad \text{ für } \quad x> p \tag{1} \] genügt, wenn \(F (x)\) die Wahrscheinlichkeit der Ungleichung \(X< x\) bedeutet, und \(q\) und \(q_1\) durch die (1) entsprechenden Bedingungen mit \(\tfrac14\) bzw. \(\tfrac34\) statt \(\tfrac12\) erklärt sind. Ferner wird die obere Grenze \(\varDelta\) der “mittleren Wahrscheinlichkeitsdichte” \(\dfrac{F(x_2)-F(x_1)}{x_2-x_1}\), wenn \(x_1\) und \(x_2\) mit \(x_1 < x_2\) beliebig variieren, betrachtet (der reziproke Wert von \(\varDelta\) kann als Streuungsmaß gelten), sowie die auf P. Lévy zurückgehende Funktion \(L_X(\varepsilon)\), die als die untere Grenze derjenigen Werte \(l\) erklärt ist, für die eine Zahl \(x\) mit Wahrsch. \(\{|X- x|\geqq l\}\leqq\varepsilon\) existiert.
Verf. beweist die (z. T. bekannten) Ungleichungen \[ \begin{alignedat}{2}{3} & 0\leqq \dfrac{\varTheta_X}{\sigma_X}\leqq1, & \quad & 0\leqq \dfrac{E_X}{\varTheta_X}\leqq2, & \quad & 0\leqq \dfrac{E_X}{\sigma_X}\leqq \sqrt2,\\ & 0\leqq \dfrac{1}{\varDelta\varTheta_X}\leqq4, & \quad & 0\leqq \dfrac{1}{\varDelta\sigma_X}\leqq2\sqrt3, & \quad & 0\leqq \dfrac{1}{\varDelta E_X}\leqq \sqrt4 \end{alignedat} \] und zeigt, daß sie sämtlich nicht verbessert werden können. Aus den drei letzten Beziehungen entnimmt man insbesondere von \(\varDelta\) abhängige untere Schranken von \(\varTheta_X\), \(\sigma_X\) und \(E_X\) für den Fall, daß die Wahrscheinlichkeitsdichte von \(X\) das Maximum \(\varDelta\) hat. Ferner werden die Ungleichungen \[ 0\leqq \dfrac{\varepsilon L_X(\varepsilon)}{\varTheta_X}\leqq1, \qquad 0\leqq \dfrac{\sqrt\varepsilon L_X(\varepsilon)}{\sigma_X}\leqq1, \qquad 0\leqq \dfrac{L_X(\tfrac12)}{E_X}\leqq 1 \] bewiesen, wo die obere Grenze des letzten Quotienten und die unteren Grenzen nicht verbessert werden können; die genauen oberen Grenzen der ersten beiden Quotienten sind sicher \(\geqq \dfrac12\) bzw. \(\geqq \dfrac{1}{\sqrt2}\).

Reviewer: Höffding, W., Dr. (Berlin)

JFM Section:

Erster Halbband. E. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Anwendungen 2. Mathematische Statistik, Fehler- und Ausgleichsrechnung. b) Mittelwerte und Momente.