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Sulle curve ovunque tangenti a una quintica piana generale. (Italian) JFM 66.0765.03

In Fortsetzung einer Arbeit von F. P. White (Proc. London math. Soc. (2) 30 (1930), 347-358; JFM 56.0555.*) werden Kurven untersucht, die eine ebene allgemeine Kurve fünfter Ordnung \(C^5\) “überall” berühren. Dabei sagt Verf. von zwei Kurven \(m\)-ter und \(n\)-ter Ordnung, von denen mindestens eine von gerader Ordnung ist, daß sie sich “überall” berühren, wenn sie sich in jedem ihrer \(\dfrac{m\cdot n}{2}\) Schnittpunkte berühren. Eine \(C^5\) besitzt 2016 überall berührende Kegelschnitte und 4096 verschiedene Systeme überall berührender Kurven vierter Ordnung, die von zweierlei Typus sind, Systeme 1. Art, deren 10 Berührungspunkte einer Kurve dritter Ordnung angehören und Systeme 2. Art, die diese Eigenschaft nicht besitzen. Jedes dieser Systeme von \(\infty^4\) Kurven vierter Ordnung enthält 496 Kegelschnittpaare. (Bei einem System 1. Art gilt die Mannigfaltigkeit der \(\infty^2\) doppelt zählenden Geraden als ein Kegelschnitt eines solchen Paares.) Diese Kurven vierter Ordnung und Kegelschnittpaare behandelt Verf. mittels zweier verschiedener Abbildungen.
Die erste Abbildung geht von einer allgemeinen \(V_3^3\) des \(R_4\) und einer auf ihr gelegenen Geraden \(r\) aus. Jede durch \(r\) laufende Ebene schneidet aus \(V_3^3\) einen Kegelschnitt aus. Dieser wird auf den Punkt abgebildet, in dem seine Ebene eine feste Bildebene \(a\) schneidet. Den \(\infty^1\) in Geradenpaare zerfallenden Kegelschnitten entsprechen dann die Punkte einer \(C^5\). Sie entsteht, wenn man den Ort der Scheitel der \(\infty^1\) Geradenpaare, eine Kurve \(\varDelta^{10}\), von \(r\) aus projiziert. Den \(\infty^4\) Räumen \(R_3\) entspricht ein System 1. Art von \(\infty^4\) überall berührenden Kurven vierter Ordnung. Die in diesem enthaltenen 495 in Kegelschnittpaare zerfallenen Kurven vierter Ordnung entsprechen den 495 quadritangierenden Räumen \(R_3\) (G. Fano, Ricerche sulla varietà cubica generale dello spazio a 4 dimensioni e sopra i suoi spazi pluritangenti, Ann. Mat. pura appl. (3) 10 (1904), 251-285). Durch geeignete Wahl der \(V_3^3\) kann man auf diese Weise jedes der 2015 Systeme 1. Art von überall berührenden Kurven vierter Ordnung gewinnen.
Die Systeme 2. Art überall berührender Kurven vierter Ordnung ergeben sich durch die Abbildung einer von G. Montesano untersuchten Kegelschnittkongruenz 1. Ordnung des \(R_3\). (Atti Accad. Sci. Torino 27 (1892), 660-690; Rend. Accad Sci. fis. mat., Napoli, (3) 1 (1895), 155-181; F. d. M. 24, 589 (JFM 24.0589.*); 26, 624). Durch eine Raumkurve 7. Ordnung vom Geschlechte 5 (\(C_5^7\)) läuft ein Netz von Flächen dritter Ordnung. Deren variable Schnittkurven sind die Kegelschnitte der Kongruenz. Bildet man die Flächen des Netzes auf die Geraden einer Ebene ab, so erhält man eine Abbildung der Kegelschnitte der Kongruenz auf die Punkte der Ebene. Dabei entsprechen den in Geradenpaare zerfallenen Kegelschnitten die Punkte einer \(C^5\). Den Ebenen des Raumes werden \(\infty^3\) Kurven vierter Ordnung zugeordnet, die einem Systeme 2. Art von \(\infty^4\) überall tangierenden Kurven vierter Ordnung angehören, und von denen im allgemeinen keine in ein Kegelschnittpaar zerfällt. Die \(C_5^7\) ist die Projektion einer kanonischen Kurve \(C_5^8\) des \(R_4\), Schnitt dreier quadratischer Mannigfaltigkeiten, von einem ihrer Punkte aus. Die Abbildung kann auch von der Geometrie dieser Kurve aus behandelt werden. Insbesondere entsteht die Kurve \(\delta^{10}\), Ort der Doppelpunkte der zerfallenen Kegelschnitte der Kongruenz durch Projektion der normalen Kurve \(C^{10}\), Ort der Scheitel aller Kegel zweiter Ordnung, die durch die genannte \(C^8\) laufen.
Bei der durch die \(C_5^7\) vermittelten Abbildung entsprechen den \(\infty^4\) Geraden des \(R_3 \infty^4\) rationale Kurven dritter Ordnung derart, daß zu jeder der \(\infty^3\) Kurven vierter Ordnung des Systems 2. Art \(\infty^2\) derartige Kurven dritter Ordnung gehören. Sie sind für jede der Kurven vierter Ordnung in einem der 36 Systeme von Kurven dritter Ordnung enthalten, die die Kurve vierter Ordnung überall berühren, und deren sechs Berührungspunkte nicht auf einem Kegelschnitt liegen. Die 36 Systeme entsprechen den 36 verschiedenen Arten, auf die man nach O. Hesse (Über die Doppeltangenten der Kurven vierter Ordnung, J. reine angew. Math. 49 (1855), 279-332) die Gleichung einer Kurve vierter Ordnung durch Nullsetzen einer symmetrischen Determinante vierter Ordnung bringen kann. Von dem Hesseschen Ansatz aus gelingt die Abbildung der \(\infty^3\) die Kurve vierter Ordnung überall berührenden Kurven dritter Ordnung auf die Ebenen eines Bildraumes \(R_3\). Den rationalen Kurven dritter Ordnung entsprechen dabei acht Bündel, deren Zentren ein Oktupel assoziierter Punkte bilden. Wird nun ein System von \(\infty^4\) überall berührenden Kurven vierter Ordnung 2. Art einer \(C^5\) auf die Räume \(R_3\) eines \(R_4\) abgebildet, so geben die zu den Kurven vierter Ordnung gehörigen Kurven dritter Ordnung die \(\infty^6\) Ebenen des \(R_4\), und die rationalen Kurven dritter Ordnung werden dabei auf solche Ebenen abgebildet, die eine ausgezeichnete kanonische Kurve \(C_5^8\) schneiden. Diese Kurve besitzt 496 vierfach berührende \(R_3\). Wählt man einen Berührungspunkt eines solchen \(R_3\) als Projektionszentrum, so entsteht bei der Projektion eine \(C_5^7\) besonderer Art: Sie bestimmt eine Kongruenz von Montesano mit einer Ebene, die die Kongruenz in einer Involution von Punktepaaren schneidet, deren Doppelkurve in zwei rationale Kurven zerfällt.
Durch die genannte Untersuchung von Hesse wird gezeigt, daß die linke Seite der Gleichung jeder Kurve vierter Ordnung auf 36 Weisen in Gestalt einer symmetrischen vierreihigen Determinante geschrieben werden kann. Verf. beweist zum Schluß, daß für eine allgemeine Kurve \(n\)-ter Ordnung gilt, daß die linke Seite ihrer Gleichung auf \(2^{\binom{n-1}{2}-1}\left(2^{\binom{n-1}{2}}+1\right)\) Weisen die Gestalt einer symmetrischen Determinante \(n\)-ter Ordnung erhalten kann, deren Elemente in den Koordinaten linear sind.
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