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Su alcune particolari reti di quadriche dello spazio ordinano. (Italian) JFM 66.0766.01

Rev. Univ. Nac. Tucuman, A 1, 271-281 (1940).
Zwei der besonderen hier betrachteten Quadrikennetze werden als Hyperebenenschnitte eines allgemeinen Quadrikennetzes \(\varSigma\) des vierdimensionalen Raumes konstruiert. Die Spitzen der in \(\varSigma\) enthaltenen Kegel bilden im Raume \(S_4\) eine Kurve \(\delta_6^{10}\) der Ordnung 10 und des Geschlechts 6. Schneidet man \(\varSigma\) mit dem Verbindungs-\(S_3\) von zwei konjugierten Trisekanten der Kurve \(\delta\), so erhält man im \(S_3\) ein Netz \(\sigma\), das vier Ebenenpaare enthält, und dessen Kegel sich auf zwei quadratische Systeme verteilen. Dieses Netz ist von W. L. Edge schon untersucht worden (Acta Math., Uppsala, 64 (1935), 185-242; Proc. London math. Soc. (2) 41 (1936), 337-360; JFM 61.0698.*; 62\(_{\text{I}}\), 744); seine Eigenschaften werden hier kurz wiederholt und in einigen Punkten vervollständigt. – Schneidet man \(\varSigma\) mit einem \(S_3\), der die Basiskurve von \(\varSigma\) in vier Punkten berührt, so erhält man ein Netz \(\sigma\), dessen 8 Basispunkte paarweise zusammenfallen; die Quadriken des Netzes haben so vier Punkte gemein, in denen sie eine gemeinsame feste Tangente besitzen. Die \(\infty^1\) Kegel des Netzes verteilen sich, wie im vorigen Falle, auf zwei quadratische Systeme. Die Eigenschaften dieses Netzes werden hier analytisch behandelt. Beide Netze hängen von 17 Parametern ab; sie besitzen also zwei projektive Invarianten. – Weitere besondere Fälle von Netzen, die von einer kleineren Anzahl von Parametern abhängen, und die also als Schnitte eines allgemeinen \(\varSigma\) nicht mehr erhalten werden können, erhält man, wenn die Kegel des Netzes \(\sigma\) sich auf vier Büschel verteilen. Vom ersten Netze erhält man so den besonderen Fall eines Netzes, dessen acht Basispunkten im metrischen Modell die acht Ecken eines Würfels entsprechen. Vom zweiten Netze hat man einen besonderen Fall, wo die vier festen Tangenten ein windschiefes Viereck bilden.
Die vorliegende Untersuchung ist mit einer früheren des Verf. eng verbunden, wo die Berührungs-\(C^4\) einer allgemeinen ebenen \(C^5\) studiert werden (s. vorstehende Besprechung); die ebene \(C^5\) erhält man als Bild der Kurve \(\delta\), wenn die Quadriken von \(\varSigma\) den Punkten einer Ebene projektiv zugeordnet werden.

Citations:

JFM 61.0698.*