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Regular cycles of compact metric spaces. (English) JFM 66.0952.02

Gegeben sei ein kompakter, metrischer Raum \(X\). Eine reguläre Abbildung eines Komplexes \(K\) (mit höchstens abzählbar vielen Simplexen) auf eine Menge von \(X\) ist eine auf den Eckpunkten von \(K\) gegebene Funktion \(f\) mit Werten aus \(X\) derart, daß für jedes \(\varepsilon > 0\) alle Simplexe von \(K\) bis auf endlich viele in Punktmengen übergehen, deren Durchmesser kleiner als \(\varepsilon\) sind. Eine reguläre \(q\)-Kette \((A, \,f, \,C^q)\) von \(X\) (Koeffizientenbereich eine Abelsche Gruppe \(\mathfrak{G}\)) ist die Menge dreier Objekte: eines Komplexes \(A\), einer regulären Abbildung \(f\) von \(A\) in \(X\) und einer \(q\)-Kette \(C^q\) von \(A\) (d. h. einer auf den \(q\)-Simplexen von \(A\) gegebenen Funktion, deren Werte zur \(\mathfrak{G}\) gehören); wenn \(C^q\) ein Zyklus ist, so bekommt man einen regulären \(q\)-Zyklus von \(X\).
Verf. führt in gewöhnlicher Weise die homologen Zyklen, die Homologieklassen und die Summe zweier Homologieklassen ein. Somit bilden die Homologieklassen der \(q\)-Zyklen eine Abelsche Gruppe, \(H^q(X)\), die eine topologische Invariante von \(X\) ist. Ein Zyklus ist schwach berandungsfähig, wenn er homolog einem solchen Zyklus \((A, \,f, C^q)\) ist, daß \(C^q\) die Summe abzählbar vieler endlicher Zyklen von \(A\) ist. Die schwach berandungsfähigen \(q\)-Zyklen von \(X\) bilden eine Untergruppe \(\tilde{H}^q(X)\) von \(H^q(X)\), die eine andere topologische Invariante von \(X\) ist. Eine stetige Abbildung von \(X\) auf einen kompakten, metrischen Raum \(Y\) bewirkt einen Homomorphismus von \(H^q(X)\) auf \(H^q(Y)\); dabei geht \(\tilde{H}^q(X)\) in \(\tilde{H}^q(Y)\) über. – Als Hauptsatz beweist Verf.: Wenn \(X\) eine abgeschlossene, im Innern der abgeschlossenen \(n\)-dimensionalen Kugel \(S^n\) enthaltene Menge und \(K = S^n - X\) ein unendlicher Komplex ist, so ist die Homologiegruppe \(H^q(K)\) der unendlichen \(q\)-Zyklen von \(K\) mit \(H^q(X)\) isomorph.
Verf. betrachtet weiter die Beziehungen zwischen den von ihm eingeführten und anderen schon bekannten Invarianten; z. B.: 1) Für beliebigen Koeffizientenbereich \(\mathfrak{G}\) sind die Vietorissche Gruppe \(V^{q-1}(X)\) und die Restklassengruppe \(H^q(X)\) nach \(\tilde{H}^q(X)\) isomorph; 2) Wenn \(\mathfrak{G}\) kompakt ist, so ist \(\tilde{H}^q(X)=0\); und dasselbe gilt für beliebiges \(\mathfrak{G}\), wenn \(X\) im kleinen zusammenhängend ist im Sinne der Homologie in den ersten \(q\) Dimensionen. Verf. beweist weiter, daß \(\tilde{H}^q(x)\) sich immer durch schon bekannte Invarianten ausdrücken läßt und nicht immer die Nullgruppe zu sein braucht. Es folgen Anwendungen.

MSC:

54E45 Compact (locally compact) metric spaces
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