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On \(C^1\)-complexes. (English) JFM 66.0955.03
Eine Abbildung \(f(U)\) eines Gebietes \(U\) eines \(R^k\) in einen \(R^n\) \((k \leqq n)\) heiße von der Klasse \(C^1\) oder ein \(C^1\)-Riß (\(C^1\)-map), wenn sie durch Gleichungen \[ y^i=f^i(x^1, \,x^2, \ldots \!, x^k) \] gegeben ist und die \(f^i\) stetige erste Ableitungen in \(U\) haben. \(f\) heißt nicht ausgeartet, wenn die Jacobische Matrix der \(f^i\) in ganz \(U\) den Rang \(k\) hat.
Eine Abbildung \(f(A)\) eines \(k\)-dimensionalen Simplexes des \(R^k\) heißt ein (nicht ausgearteter) \(C^1\)-Riß von \(A\), wenn sie zu einem (nicht ausgearteten) \(C^1\)-Riß eines \(A\) enthaltenden Gebietes des \(R^k\) erweitert werden kann.
Unter einem (nicht ausgearteten) \(C^1\)-Riß \(f(K)\) eines Komplexes \(K\) wird eine Abbildung von \(K\) in einen \(R^n\) verstanden, die in jedem Simplex von \(K\) ein (nicht ausgearteter) \(C^1\)-Riß ist. \(f(k)\) heißt auch ein (nicht ausgearteter) \(C^1\)-Komplex. \(f(K)\) heißt nicht singulär, wenn überdies \(f\) in ganz \(K\) eineindeutig ist. Unter einer \(n\)-dimensionalen \(C^1\)-Mannigfaltigkeit \(M^n\) wird ein \(C^1\)-Komplex verstanden, der mit abzählbar vielen \(n\)-Zellen überdeckbar ist. Ein nicht singulärer, lokal endlicher \(C^1\)-Komplex \(f(k)=M^n\) heißt eine \(C^1\)-Triangulation von \(M^n\). Ein simplizialer Komplex heißt eine unberandete formale \(n\)-dimensionale Mannigfaltigkeit, wenn der Umgebungskomplex jeder seiner Ecken mit dem Rand eines \(n\)-Simplexes kombinatorisch äquivalent ist.
Mittels Approximation dieser \(C^1\)-Komplexe und \(C^1\)-Mannigfaltigkeiten durch stückweise lineare \(C^1\)-Komplexe werden folgende Sätze bewiesen: Wenn \(f(K)\) eine \(C^1\)-Triangulation einer \(M^n\) ist, ist \(K\) eine unberandete formale \(M^n\). – Jede \(n\)-dimensionale Mannigfaltigkeit hat eine \(C^1\)-Triangulation. – Je zwei \(C^1\)-Triangulationen einer \(M^n\) sind kombinatorisch äquivalent.

Subjects:
Erster Halbband. F. Geometrie. 13. Topologie. c) Mannigfaltigkeiten und ihre Abbildungen.
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