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Topological transformation groups. I. (English) JFM 66.0959.03
Eine topologische Gruppe \(G\) heißt eine Transformationsgruppe eines Raumes \(E\), wenn jedem Element \(g\) von \(G\) ein Homöomorphismus \(g(x)\) von \(E\) in sich entspricht, dabei zu der Identität \(g_0\) von \(G\) die identische Abbildung von \(E\) auf sich gehört, für je zwei Elemente \(g_1\) und \(g_2\) und jeden Punkt \(x\) von \(E\) gilt \(g_1[g_2(x)]=(g_1g_2)(x)\) und schließlich \(g(x)\) gleichzeitig stetig in \(g\) und \(x\) ist. \(G\) wird als kompakt und metrisch vorausgesetzt. Eine Bahnkurve (“orbit”) von \(G\) ist eine Teilmenge \(G(x)\) von \(E\), bestehend aus allen Punkten \(y\) von \(E\), in welche \(x\) durch Transformationen \(g\) aus \(G\) transformiert werden kann. Verf. untersuchen den Zusammenhang der Struktur der Bahnkurven mit der Struktur von \(G\). Die lokale Struktur einer endlichdimensionalen Bahnkurve ist der einer endlichdimensionalen kompakten Gruppe ähnlich. Die Menge aller Punkte von \(E\), welche auf mindestens \(k\)-dimensionalen Bahnkurven liegen, ist in \(E\) offen. Wenn \(G(x)\) eine endlichdimensionale Bahnkurve und \(G\) eine wahre Transformationsgruppe auf \(G(x)\) ist, d. h. jedes \(g\) aus \(G\) außer \(g_0\) mindestens einen Punkt von \(G(x)\) in einen davon verschiedenen Punkt transformiert (“acts effectively on \(G(x)\)”), dann ist \(G\) endlichdimensional; eine obere Schranke für die Dimension von \(G\) wird angegeben. Wenn \(G\) eine wahre Transformationsgruppe auf einem lokal euklidischen Raum ist und die Bahnkurven lokal zusammenhängend sind, dann ist \(G\) eine Liesche Gruppe. Zahlreiche weitere Sätze.

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