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Characteristic functions of families of sets. (English) JFM 66.0966.02
Verf. beschäftigt sich mit Zusammenhängen zwischen einer Arbeit von Szpilrajn (Fundam. Math., Warszawa, 31 (1938), 207-233; F. d. M. 64\(_{\text{I}}\) 184) und seiner eigenen allgemeinen Theorie der Booleschen Algebren (Trans. Amer. math. Soc. 40 (1936), 37-111; 41 (1937), 375-481; F. d. M. 62\(_{\text{I}}\), 33; 63\(_{\text{II}}\), 1173). Dabei verallgemeinert er den von Szpilrajn aufgestellten Begriff der charakteristischen Funktion einer Mengenfolge.
Verf. betrachtet den Raum \(\mathfrak{B}_\mathfrak{c}\) aller Funktionen \(\mathfrak{s}(\alpha)\) mit Werten 0 und 1, wobei \(\alpha\) die Menge \(A\) mit der unendlich großen Kardinalzahl \(\mathfrak{c}\) durchläuft, und zwar alle Ordnungszahlen \(\alpha\) unterhalb eines gewissen \(\beta\). Für \(\mathfrak{B}_\mathfrak{c}\) bilden die \(\mathfrak{E}_{\alpha}\) eine Basis, wobei \(\mathfrak{E}_{\alpha}\) die Menge aller \(\mathfrak{s}\) mit \(\mathfrak{s}(\alpha)=1\) ist. Verf. beschreibt genauer die Topologie von \(\mathfrak{B}_\mathfrak{c}\) auf Grund der Booleschen Algebra \(A_{\mathfrak{c}}\), die von den \(\mathfrak{c}\) Elementen \(\mathfrak{E}_{\alpha}\) erzeugt wird. Der Begriff der charakteristischen Funktion wird dann zuerst für eine Mengenfolge \(E_{\alpha}\) definiert, und danach wird diese Definition mittels \(A_{\mathfrak{c}}\) algebraisch gestaltet. Weiter wird gezeigt, daß der Ordnungsbegriff vermeidbar ist, wodurch eine noch größere Allgemeinheit erreicht wird. Als Anwendung wird zum Schlusse das Theorem bewiesen: Ist \(X\) ein \(T_0\)-Raum des unendlichen Charakters \(\mathfrak{c}\), so ist \(X\) das eineindeutige und stetige Bild eines gewissen Unterraumes \(\mathfrak{X}\) eines total unzusammenhängenden bikompakten Hausdorffschen Raumes vom Charakter \(\mathfrak{c}\).
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