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Über Abhängigkeitsräume. (German) JFM 66.0967.01
Es sei \(H\) eine Menge mit Elementen \(x_1, x_2, \ldots\) Für alle in \(H\) enthaltenen Systeme \([x_1, \ldots \!, x_p]\) von endlich vielen Elementen sei eine Eigenschaft “Abhängigkeit” erklärt. Ihr Zutreffen wird mit \(A[x_1, \ldots \!, x_p]\) bezeichnet, ihr Nichtzutreffen mit \(U[x_1, \ldots \!, x_p]\) (\(x_1, \ldots \!, x_p\) heißen dann unabhängig). Es werden drei Axiome vorausgesetzt: \((K)\) Aus \(x_1=x_2\) folgt \(A[x_1,x_2]\); \((I)\) Aus \(A[x_1, \ldots \!, x_p]\) folgt \(A[x_1, \ldots \!, x_p, y]\) für alle \(y\); \((A)\) Aus \(U[x_1, \ldots \!, x_p]\), \(A[x_1, \ldots \!, x_p, y]\) und \(A[x_1, \ldots \!, x_p, z]\) folgt \(A[x_2, \ldots \!, x_p, y, z]\). Sind diese Forderungen erfüllt, so heißt \(H\) ein Abhängigkeitsraum. Ist \(S = [x_1, \ldots \!, x_q]\) gegeben, so bezeichne \(L(S)\) die Menge aller \(y \in H\) mit \(A[x_1, \ldots \!, x_q, y]\). \(L(S)\) heißt die durch \(S\) aufgespannte \(A\)-Mannigfaltigkeit. Sind \(y_1, \ldots \!, y_t\) unabhängig, und ist \(L(S)=L[y_1, \ldots \!, y_t]\), so heißt \([y_1, \ldots \!, y_t]\) eine Basis von \(L(S)\). Die singulären Elemente von \(H\) sind die \(y\) mit \(A[y]\). Sie bilden die Mannigfaltigkeit \(L^0\). Die anderen Elemente heißen gewöhnliche Elemente. Man beweist leicht, daß alle Basen einer \(A\)-Mannigfaltigkeit \(T\) gleichviele Elemente enthalten, ihre Anzahl heißt der Rang von \(T\). Die aus der linearen Algebra bekannten Austauschsätze ergeben sich ebenfalls leicht. Es folgen Sätze über den Rang von Durchschnitt und Vereinigung von Systemen. Sind \(E_1, \ldots \!, E_n\) endliche Mengen, so heißen sie unabhängig voneinander, wenn Rang \((E_1+\cdots +E_n)=\) Rang \((E_1)+\cdots +\) Rang \((E_n)\) ist. (Dabei bedeutet \(+\) die Vereinigung und Rang einer Menge die Maximalzahl unabhängiger Elemente in ihr.) \(E_1+\cdots +E_n\) heißt dann direkte Summe der \(E_i\). Es werden eine Reihe von Kriterien hergeleitet für die Existenz solcher direkter Zerlegungen, speziell von solchen in direkt unzerlegbare Summanden. Für die direkt unzerlegbaren Mannigfaltigkeiten werden weitere “Zerspaltungen” angegeben, die sie in Mannigfaltigkeiten niedrigeren Ranges zerlegen, allerdings nicht mehr in eindeutiger Weise, sondern von einem speziellen “Simplex” aus Punkten der Mannigfaltigkeit abhängig. Schließlich werden die Verbindungen dieser Abhängigkeitstheorie zur Theorie der Verbände untersucht und eine axiomatische Charakterisierung der äquivalenten Verbände gegeben. (Für eine verbandstheoretische Einführung der Abhängigkeit vgl. auch S. Mac Lane, Duke math. J. 4 (1938), 455-468; F. d. M. 64\(_{\text{I}}\), 72.)

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Full Text: Crelle EuDML