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Zusammenhang zwischen Potenzbildung und Kommutatorbildung. (German) JFM 66.1201.03
Es sei \(\mathfrak F\) die freie Gruppe mit endlich vielen Erzeugenden, ferner \(\mathfrak F(m)\) die Untergruppe, welche von den \(m\)-ten Potenzen aller Elemente erzeugt wird. Dann vermutete Burnside, daß \(\mathfrak F/\mathfrak F(m)\) endlich ist, ferner daß diese Faktorgruppe auflösbar ist, falls \(m\) ungerade ist. Für \(m=2\) ergibt sich ohne weiteres, daß sie abelsch vom Typus \((2, 2,\ldots )\) ist. Daraus folgt, daß die Kommutatorgruppe jeder Gruppe sich durch Quadrate von Elementen erzeugen läßt, z. B. \((T, S) = T^{-1}S^{-1}TS=T^{-2}(TS\cdot S^{-2}T^{-1})^2(TS)^2\). Verf. behandelt den Fall der Primzahlpotenzen \(m=p^i\). Hier ist die Faktorgruppe, falls sie endlich ist, jedenfalls auflösbar, und die sogenannte absteigende Zentrenreihe spielt die Hauptrolle: \(\mathfrak G=\mathfrak G_1,\mathfrak G_2,\mathfrak G_3,\ldots\), wo \(\mathfrak G_n\) durch die Kommutatoren von \(\mathfrak G\) mit \(\mathfrak G_{n-1}\) erzeugt wird. Aus der Theorie der Dimensionsgruppen von Magnus (Math. Ann., Berlin, 111 (1935), 259-280; F. d. M. \(61_{\text I}\), 102) entnimmt Verf., ohne den Beweis anzugeben, den Satz, daß die Elemente von \(\mathfrak G_n\) durch die Eigenschaft charakterisiert werden, daß sie der Kongruenz genügen \(G\equiv 1\;(\mathfrak L^n)\), wo \(\mathfrak L\) das Primideal des Gruppenringes \(\mathfrak R\) von \(\mathfrak G\) bedeutet, das durch alle \(G-1\) erzeugt wird. Hilfssatz 1: Wenn \(\mathfrak R\) auf \(\mathfrak R/p_i\mathfrak L\) abgebildet wird, so ist das Bild von \(\mathfrak G\) isomorph mit \(\mathfrak G\). Nun bezeichne \((T, S, n)\) den Kommutator (\(T, S, S,\ldots,n\)-mal), ferner sei \(\mathfrak U\) die durch \(S\) und \(T\) erzeugte Untergruppe von \(\mathfrak G\), dann ergeben sich Sätze von der Art: \[ (T, S, 2\nu p^\nu - 2 (\nu-1) p^{\nu-1}-1)^{p^{i-\nu}}\equiv 1 (\mathfrak U_{2\nu p^\nu-2(\nu-1)p^{\nu-1}+1}), \] woraus speziell folgt \((T, S, p - 1)^{p^{i-1}}\equiv 1(\mathfrak G_{p+1})\), ein Satz, der für \(i=1\) schon von Zassenhaus bewiesen wurde. Ferner ergibt sich \[ \prod(T,S_1,\ldots,S_{p-1})^{p^{i-1}}\equiv 1(\mathfrak G_{p+1}), \] wobei das Produkt über alle Permutationen von \(S_1, S_2,\ldots, S_{p-1}\) erstreckt wird. Formeln, bei denen nicht über alle Permutationen multipliziert wird, werden in § 2 hergeleitet. Schließlich wird bewiesen, daß die abelsche Faktorgruppe \(\mathfrak G_{p+1}\mathfrak G^2/\mathfrak G_{p+2}\) höchstens vom Typus (\(p^{i-1}, p^{i-1},\ldots )\) ist.

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Full Text: DOI Crelle EuDML