On semi-groups. (English) JFM 66.1207.01

Rees, D.

Proc. Cambridge philos. Soc. 36, 387-400 (1940).

\(S\) sei eine Halbgruppe mit 0, d. h. eine Menge mit stets eindeutig ausführbarer Verknüpfung und \(0x = x0 = 0\) für jedes \(x\in S\). Eine Untermenge \(T\) von \(S\) heißt Ideal, wenn \(TS \subseteqq T\) und \(ST \subseteqq T\). Jedes Ideal \(T\) von \(S\) liefert eine “Faktorhalbgruppe”, die aus 0 und allen \(x\in S\) mit \(x \not \in T\) besteht. Der Verfeinerungssatz für Normalketten von Gruppen läßt sich wörtlich auf Ketten von Idealen von \(S\) übertragen. -\(S\) heißt einfach, wenn \(S\) kein Ideal \(T\) mit \(0 \in T \subset S\) enthält, aber mehr als zwei Elemente hat. Ist \(S\) einfach und jedes \(x \in S\) von endlicher Ordnung, so ist \(S\) “volleinfach”, d. h. es gilt: 1) Zu jedem \(x \neq 0\) gibt es Idempotente \(e_1\), \(e_2\) mit \(e_1 x = x e_2 = x\). 2) Es gibt keine Idempotente \(e_1\), \(e_2\) mit \(e_1 S e_1 \subset e_2 S e_2\). – \(S\) sei volleinfach, \(e\) ein Idempotent, und aus den verschiedenen Mengen \(f Se\) bzw. \(eSf\) (\(f\) durchläuft alle Idempotente) sei je ein \(p_i\not = 0\) bzw. \(q_j \not = 0\) gewählt. Jedes \(x \in S\) läßt sich eindeutig darstellen als \(x = p_i a q_j\) mit \(a\in eSe\). Die Struktur von \(S\) ist also bestimmt durch die Matrix \((q_jp_k)\) aus Elementen der Gruppe \(eSe\) mit 0. – Ist \((p_{jk})\) eine Matrix aus Elementen einer Gruppe \(G\) mit 0, die in jeder Reihe ein Element \(\not = 0\) hat, so bilden die Symbole \((a)_{ij}\) mit \(a\in G\) eine volleinfache Halbgruppe, wenn \((a)_{ij} (b)_{kl}= (ap_{jk}b)_{il}\) gesetzt wird. Zwei Matrizen aus Elementen von \(G\) führen genau dann zu isomorphen Halbgruppen, wenn sie durch einen Automorphismus von \(G\), durch Multiplizieren mit Elementen \(\not = 0\) und Permutieren der Reihen ineinander übergeführt werden können.

Reviewer: Lorenzen, P., Dr. (Bonn)

JFM Section:

Zweiter Halbband. C. Arithmetik und Algebra. 4. Gruppentheorie. g) Verallgemeinerungen.