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On exceptional points on cubic curves. (English) JFM 66.1211.01

Die Tangente in einem Punkte \(P_0\) einer kubischen Kurve \(C\) vom Geschlecht 1 schneide \(C\) in \(P_1\), die Tangente in \(P_1\) schneide \(C\) in \(P_2\), usw. Wenn sich die Konstruktion schließt, so heißt \(P_0\) ein exzeptioneller Punkt. Die Punkte \(P_n\) (\(n = 1, 2,\dots\)) sind exzeptionell. Der dritte Schnittpunkt einer zwei exzeptionelle Punkte verbindenden Geraden mit \(C\) ist ebenfalls exzeptionell. Alle auf diese Weise von einem gegebenen exzeptionellen Punkt aus erhaltenen Punkte bilden eine endliche Gruppe (siehe Billing, \(9^{\text{me}}\) Congr. Math. Scand. 1938 (1939), 146-150; F. d. M. 65, 114 (JFM 65.0114.*)). Durch eine birationale Transformation kann erreicht werden, daß ein Punkt der Gruppe ein Wendepunkt von \(C\) wird. Drückt man die Koordinaten von \(C\) als elliptische Funktionen eines Parameters \(u\) mit den primitiven Perioden \(\omega\), \(\omega_1\) aus und normiert \(u\) so, daß der Wendepunkt das Argument \(u \equiv 0\) (mod \(\omega\), \(\omega_1\)) erhält, so wird das Argument irgend eines exzeptionellen Punktes durch (\(m\omega + m_1\omega_1):n\) gegeben, wo \(n\) ein Teiler der Gruppenordnung und \((m, m_1, n) = 1\) ist. Die Gruppe der aus dem Punkt \((m\omega + m_1 \omega_1) : n\) abgeleiteten exzeptionellen Punkte besteht aus den \(n\) Punkten \(k(m\omega + m_1 \omega_1) : n\) (\(k = 0, 1,\dots, n - 1\)). Diese Gruppe ist zyklisch. – Von jetzt ab werde vorausgesetzt, daß die Koeffizienten einer Gleichung von \(C\) rational seien, und nur nach rationalen exzeptionellen Punkten gefragt. Die in diesem Zusammenhang bisher behandelten Probleme waren: 1. Bestimmung der möglichen Werte \(n\), 2. Bestimmung von Kurven, deren rationale Punkte eine exzeptionelle Punktgruppe vorgegebener Struktur bilden. – Verf. geben 5 Punkte 0, 1, 2, 3, 4 vor und konstruieren eine kubische Kurve, welche durch diese Punkte und noch durch gewisse andere, durch sie bestimmte Punkte geht. Ist diese kubische Kurve vom Geschlecht 1, so ist 0 Wendepunkt und die elliptischen Argumente der Punkte \(0,\dots, 4\) können als \(ku\) (\(k = 0,\dots, 4\)) gewählt werden. Erfüllen die Lagen von \(0,\dots, 4\) gewisse Bedingungen, so sind diese Punkte Elemente zyklischer Gruppen von exzeptionellen Punkten \((n \geqq 5\)). Wenn diese Bedingungen durch fünf Punkte erfüllt werden können, dann besitzt die kubische Kurve \(n\) rationale exzeptionelle Punkte. Für kleine Werte von \(n\) werden die Bedingungen einfach. Für \(n \geqq 8\) wird ein homogenes Koordinatensystem so gewählt, daß die Punkte 0, 1, 2, 3 mit \((1, 1, 1)\), \((1, 0, 0)\), \((0, 1, 0)\), \((0, 0,1)\) und 4 mit \((x_1, x_2, x_3)\) zusammenfallen. – Wenn die fünf Punkte zu einer exzeptionellen Gruppe der Ordnung \(n\) gehören, so liegt 4 auf einer Geraden, wenn \(n = 8\) oder 9; auf einem Kegelschnitt, wenn \(n = 10\) oder 12; auf einer kubischen Kurve vom Geschlecht 1, wenn \(n = 11\); auf einer hyperelliptischen Kurve vierter Ordnung, wenn \(n = 13\), 14 oder 15. Die Koordinaten von 4 sind rational, wenn \(x_1, x_2, x_3\) eine diophantische Gleichung befriedigen. – Für \(n = 11\) zeigen schließlich Verf., daß es keine kubische Kurve mit einer Gruppe von 11 rationalen Punkten gibt.

Citations:

JFM 65.0114.*
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