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Functions of several variables and absolute continuity. I. (English) JFM 66.1224.03
Es handelt sich in dieser und der anschließenden nachstehend besprochenen Arbeit von C. B. Money jr. um die Untersuchung einer Klasse von reell- oder komplexwertigen Funktionen von \(n\) reellen Veränderlichen, welche von G. C. Evans (Rice Inst. Pamphlets 7 (1920), Nr. 4, 252-329; Amer. J. Math. 50 (1928), 123-126; F. d. M. 48, 1268 (JFM 48.1268.*); 54, 508) eingeführt wurde, und welche sich nach Untersuchungen der Verf. als wichtig erweist sowohl bei der Behandlung partieller Differentialgleichungen mit Hilfe der Theorie der Transformationen im Hilbertraum als (vgl. Morrey) bei gewissen Problemen der Variationsrechnung.
Bezeichnungen: \(x = (x_1,\dots, x_n)\); \([a, b] = (a_\nu \leqq x_\nu \leqq b_\nu\), \(\nu = 1,\dots, n\)); \(x_k^\prime (x_1, \dots, x_{k-1}, x_{k+1}, \dots, x_n)\); \([a_k^\prime, b_k^\prime] = (a_\varrho \leqq x_\varrho \leqq b_\varrho\); \(\varrho = 1, \dots, k-1, k+1, \dots, n)\); \(x = (x_k^\prime, x_k)\); \(f(a_k^\prime, x_k) = f (a_1, \dots, a_{k-1},x_k, a_{k+1}, \dots, a_n)\); \(f(x_k^\prime, a_k) = f (x_1, \dots, x_{k-1},a_k, x_{k+1}, \dots, x_n)\). Ferner \[ \int\limits_a^b f(x) \, dx = \int\limits_{a_1}^{b_1} \cdots \int\limits_{a_n}^{b_n} f(x_1,\dots, x_n)\, dx_1 \cdots dx_n, \] während \(\int\limits_{a_k^\prime}^{b_k} f(x_k^\prime, x_k) \, dx_k^\prime\) das \((n - 1)\)-dimensionale Integral über das Intervall \([a_k^\prime, b_k^\prime]\) bedeutet. Die Integrale sind dabei stets im Lebesgueschen Sinne gemeint. Man bezeichne \(f (x)\) als im wesentlichen absolut stetig (w. a. st.) in \(x_k\) auf dem Gebiete \(\mathfrak G\) (des \(R_n\) der \(x\)), wenn \(f (x)\) summierbar ist auf jedem, in \(\mathfrak G\) enthaltenen, (abgeschlossenen) \([a, b]\) und wenn eine, auf jedem solchen \([a, b]\) summierbare Funktion \(g_k(x)\) existiert mit \[ \int\limits_{a_k^\prime}^{b_k^\prime} \left(f(x_k^\prime, b_k) - f(x_k^\prime, a_k) \right)\, d x_k^\prime = \int\limits_a^b g_k(x) \, dx \quad \text{ für fast alle} \quad [a, b] \quad \text{aus } \mathfrak G \tag{1} \] (d. h. für jedes in \(\mathfrak G\) enthaltene \([a,b]\) mit Ausnahme einer Menge solcher Intervalle, für welche der Punkt \((a_1, \dots, a_n; b_1, \dots, b_n)\) einer Nullmenge des \(R_{2n}\) der \((x_1,\dots, x_n; y_1,\dots, y_n)\) angehört). Ferner heiße \(f (x)\) linear absolut stetig (l. a. st.) in \(x_k\) auf \(\mathfrak G\), wenn \(f(x)\) ebenso wie das (fast überall existierende) \(\partial f /\partial x_k\) summierbar ist in jedem in \(\mathfrak G\) enthaltenen \([a, b]\), und wenn \(f (x_k^\prime, x_k)\) absolut stetig in \(x_k\) ist in jedem abgeschlossenen, in \(\mathfrak G\) enthaltenen Intervall auf der Geraden \(x_k^\prime = a_k^\prime\) für fast alle \(a_k^\prime\). Ist nun \(f (x)\) w. a. st. in \(x_k\), so werde als verallgemeinertes Derivativ (v. D.) \(D_{x_k}(f)\) von \(f\) bezüglich \(x_k\) die fast überall (existierende und) mit \(g_k(x)\) übereinstimmende Ableitung der Mengenfunktion \(\int\limits_E g_k(x)\, dx\) bezeichnet, wo \( g_k(x)\) die gemäß (1) (im wesentlichen eindeutig) zu \(f (x)\) bestimmte Funktion ist. Schließlich sagt man, es gehöre \(f (x)\) zur Klasse \(\mathfrak P\) bzw. \(\mathfrak P^\prime\) bzw. \(\mathfrak P^{\prime\prime}\) auf \(\mathfrak G\), wenn \(f (x)\) w. a. st. bzw. l. a. st. ist in \(x_k\) für jedes \(k =1, \dots, n\), bzw. wenn \(f (x)\) zu \(\mathfrak P\) gehört und stetig ist auf \(\mathfrak G\). Die Klassen \(\mathfrak P_\alpha^\prime\) bzw. \(\mathfrak P_\alpha^{\prime\prime}\) werden gebildet von den Funktionen aus \(\mathfrak P\) bzw. \(\mathfrak P^{\prime\prime}\) mit auf \(\mathfrak G\) summierbaren \(|f|^\alpha\) und \(| D_{x_k}(f) |^\alpha\), \(k = 1,\dots, n\); ferner gehören in die Klasse \(\mathfrak P_\alpha^{\prime}\) die \(f (x)\) aus \(\mathfrak P^{\prime}\) mit summierbarem \(| f|^\alpha\) und \(|\partial f/\partial x_k |^\alpha\), \(k = 1,\dots, n\). Sätze: Die Klasse \(\mathfrak P\) bzw. \(\mathfrak P^{\prime\prime}\) ist identisch mit der Evansschen Klasse bzw. mit der Klasse der im Sinne von Tonelli absolut stetigen Funktionen (Atti Acad. naz. Lincei Rend., Cl. Sci. fis. mat. natur. (6) 3 (1926), 633-638; F. d. M. 52, 251 (JFM 52.0251.*)). Jede zu einer Funktion der Klasse \(\mathfrak P\) bzw. \(\mathfrak P_\alpha\) äquivalente Funktion gehört ebenfalls zur Klasse \(\mathfrak P\) bzw. \(\mathfrak P_\alpha\); die v. D. äquivalenter \(f (x)\) stimmen fast überall überein. Zwei Funktionen aus \(\mathfrak P\), deren v. D. fast überall übereinstimmen, unterscheiden sich nur um eine Konstante und eine Nullfunktion. Jede Funktion aus \(\mathfrak P^{\prime}\) bzw. \(\mathfrak P_\alpha^{\prime}\) gehört zu \(\mathfrak P\) bzw. \(\mathfrak P_\alpha\), und ihre v. D. stimmen fast überall überein mit den partiellen Ableitungen; ferner gilt (1) für solche \(f\), wenn man darin an Stelle von \(g_k\) setzt \(\partial f/\partial x_k\). Jede Funktion aus \(\mathfrak P\) ist äquivalent zu einer Funktion aus \(\mathfrak P^{\prime}\). Es gehört \(f (x)\) dann und nur dann zu \(\mathfrak P\), wenn \(f (x)\) summierbar ist über jedes in \(\mathfrak G\) enthaltene \([a, b]\), wenn ferner über jedes solche \([a, b]\) summierbare \(g_\nu (x)\), \(\nu = 1, \dots,n\), existieren und zu jedem in \(\mathfrak G\) enthaltenen \([a, b]\) eine Folge von Funktionen \(f_\mu (x)\), welche entweder sämtlich stetig differenzierbar sind oder sämtlich zur Klasse \(\mathfrak P^{\prime}\) gehören und zusammen mit ihren partiellen Ableitungen summierbar über \([a, b]\) sind oder gleichmäßig einer Lipschitzbedingung genügen, derart, daß \(f_\mu\) bzw. \(\partial f_\mu/ \partial x_\nu\) mit \(\mu \to \infty\) im Mittel (von der Ordnung 1) gegen \(f\) bzw. gegen \(g_\nu\) konvergieren, \(\nu =1, \dots, n\). Entsprechend gehört \(f (x)\) dann und nur dann zu \(\mathfrak P_\alpha\), wenn im vorstehenden Satz die Summierbarkeit von \(f\) und \(g_\nu\) ersetzt wird durch die von \(| f|^\alpha\) und \(| g_\nu |^\alpha\) und die Konvergenz im Mittel der Ordnung 1 durch die der Ordnung \(\alpha\). Handelt es sich um die Kennzeichnung der Funktionen der Klasse \(\mathfrak P_\alpha^{\prime\prime}\), so kann man in dem für \(\mathfrak P_\alpha\) gültigen Satz die Konvergenz der \(f_\mu\) (im Mittel der Ordnung \(\alpha\)) ersetzen durch gleichmäßige Konvergenz. Schließlich ist der Raum der Klassen der äquivalenten Funktionen aus \(\mathfrak P_\alpha\) mit \(\alpha \geqq 1\) ein Banachraum, wenn gesetzt wird \[ \| f \|^\alpha = \bar{D}_\alpha (f, \mathfrak G) = {D}_\alpha (f, \mathfrak G) + \int\limits_{\mathfrak G} | f |^\alpha \, dx \quad \text{mit } {D}_\alpha (f, \mathfrak G) = \int\limits_{\mathfrak G} \left[\sum_{\nu = 1}^n |D_{x_\nu} (f) |^2 \right]^{\tfrac \alpha{2}} dx. \]

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